Окружность касается катетов прямоугольного треугольника, а ее центр лежит на гипотенузе. Найдите радиус данной окружности, если катеты равны а и b.
от

1 Ответ

Дано:

Прямоугольный треугольник с катетами a и b. Окружность касается катетов и центр окружности лежит на гипотенузе.

Найти:

Радиус r окружности.

Решение:

1. Площадь прямоугольного треугольника можно выразить через катеты:
   S = (1/2) * a * b.

2. Полупериметр треугольника:
   p = (a + b + c) / 2,
   где c — гипотенуза, которая равна c = sqrt(a^2 + b^2).

3. Подставим значение c:
   p = (a + b + sqrt(a^2 + b^2)) / 2.

4. Радиус вписанной окружности (r) в прямоугольный треугольник можно выразить через площадь и полупериметр:
   r = S / p.

5. Подставим выражения для S и p:
   r = [(1/2) * a * b] / [(a + b + sqrt(a^2 + b^2)) / 2].

6. Упростим:
   r = (a * b) / (a + b + sqrt(a^2 + b^2)).

Ответ:
Радиус окружности равен (a * b) / (a + b + sqrt(a^2 + b^2)).
от