Дано:
Основание равнобедренного треугольника (a) = 12 м, высота (h) = 10 м.
Найти:
Координаты вершин треугольника, оснований медиан и длины медиан.
Решение:
а) Зададим систему координат:
- Начало отсчета O будет в центре основания треугольника.
- Ось X направим горизонтально, а ось Y — вертикально.
- Основание треугольника будет находиться на уровне Y = 0.
Координаты вершин треугольника:
- Вершина A (верхняя вершина треугольника) будет находиться на (0; 10).
- Вершины B и C (основание треугольника) будут находиться на (-6; 0) и (6; 0) соответственно.
Координаты вершин:
A(0; 10), B(-6; 0), C(6; 0).
б) Определим координаты оснований медиан, проведённых к боковым сторонам.
Для медианы M1, проведённой к стороне BC:
Координаты середины отрезка BC:
M1 = ((x_B + x_C)/2; (y_B + y_C)/2) = ((-6 + 6)/2; (0 + 0)/2) = (0; 0).
Для медианы M2, проведённой к стороне AB:
Координаты середины отрезка AB:
M2 = ((x_A + x_B)/2; (y_A + y_B)/2) = ((0 - 6)/2; (10 + 0)/2) = (-3; 5).
Для медианы M3, проведённой к стороне AC:
Координаты середины отрезка AC:
M3 = ((x_A + x_C)/2; (y_A + y_C)/2) = ((0 + 6)/2; (10 + 0)/2) = (3; 5).
Координаты оснований медиан:
M1(0; 0), M2(-3; 5), M3(3; 5).
в) Вычислим длины медиан.
Длину медианы можно найти по формуле:
m = 1/2 * sqrt(2a^2 + 2b^2 - c^2),
где a и b — длины боковых сторон, c — длина основания.
Сначала найдем длины боковых сторон треугольника:
Используем теорему Пифагора:
с = sqrt((a/2)^2 + h^2) = sqrt((12/2)^2 + 10^2) = sqrt(6^2 + 10^2) = sqrt(36 + 100) = sqrt(136) = 2 * sqrt(34).
Теперь вычислим длину каждой медианы:
1. Длина медианы m1, проведённой к стороне BC:
m1 = 1/2 * sqrt(2*(2*sqrt(34))^2 + 2*(2*sqrt(34))^2 - (12)^2) =
1/2 * sqrt(8*34 + 8*34 - 144) =
1/2 * sqrt(272 - 144) =
1/2 * sqrt(128) =
1/2 * 8 = 4 м.
2. Длина медианы m2, проведённой к стороне AB:
m2 = 1/2 * sqrt(2*(2*sqrt(34))^2 + 2*(2*sqrt(34))^2 - (10)^2) =
1/2 * sqrt(8*34 + 8*34 - 100) =
1/2 * sqrt(272 - 100) =
1/2 * sqrt(172) =
1/2 * sqrt(4*43) =
1 * sqrt(43) м.
3. Длина медианы m3, проведённой к стороне AC:
Длина медианы m3 так же равна длине медианы m2, поэтому:
m3 = 1 * sqrt(43) м.
Ответ:
Координаты вершин треугольника: A(0; 10), B(-6; 0), C(6; 0).
Координаты оснований медиан: M1(0; 0), M2(-3; 5), M3(3; 5).
Длины медиан: m1 = 4 м, m2 = m3 = sqrt(43) м.