Дано:
Трапеция ABCD, где AB и CD — основания, AB || CD, а точки M и N — середины диагоналей AC и BD соответственно.
Найти:
Доказать, что MN = (AB - CD) / 2.
Решение:
1. Задаем координаты точек:
Пусть A(0, 0), B(a, 0), C(b, h), D(c, h), где a и b — длины оснований трапеции, h — высота.
2. Находим координаты середины диагоналей:
Середина AC (M):
М = ((0 + b) / 2, (0 + h) / 2) = (b / 2, h / 2).
Середина BD (N):
N = ((a + c) / 2, (0 + h) / 2) = ((a + c) / 2, h / 2).
3. Находим длину отрезка MN:
MN = sqrt((x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2).
Подставляем координаты M и N:
MN = sqrt(((a + c)/2 - (b/2))^2 + (h/2 - h/2)^2).
MN = sqrt(((a + c) / 2 - b / 2)^2) = |(a + c - b) / 2|.
4. Упрощаем выражение:
MN = (|a + c - b|) / 2.
5. Поскольку AB и CD — основания, имеем:
a = AB, c = CD, тогда:
MN = |AB - CD| / 2.
6. Поскольку MN всегда положительно, можно записать:
MN = (AB - CD) / 2.
Ответ:
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности её оснований.