Дано:
1. Уравнение окружности: x^2 + y^2 = 25 (центр O(0, 0), радиус R = 5)
2. Уравнение прямой: 3x - 4y + 25 = 0
Найти:
Координаты точки касания прямой к окружности.
Решение:
1. Приведем уравнение прямой к более удобному виду:
4y = 3x + 25
y = (3/4)x + 25/4
2. Подставим выражение для y в уравнение окружности:
x^2 + ((3/4)x + 25/4)^2 = 25
3. Раскроем скобки:
x^2 + (9/16)x^2 + (2 * (3/4)(25/4)x) + (625/16) = 25
x^2 + (9/16)x^2 + (150/16)x + (625/16) = 25
4. Приведем подобные:
(16/16)x^2 + (9/16)x^2 + (150/16)x + (625/16) = 25
(25/16)x^2 + (150/16)x + (625/16) - 25 = 0
5. Приведем 25 к общему знаменателю:
25 = 400/16
(25/16)x^2 + (150/16)x + (625/16) - (400/16) = 0
(25/16)x^2 + (150/16)x + (225/16) = 0
Умножим обе стороны на 16:
25x^2 + 150x + 225 = 0
6. Разделим уравнение на 25:
x^2 + 6x + 9 = 0
7. Найдем дискриминант:
D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0
Поскольку D = 0, прямая касается окружности в одной точке.
8. Найдем корень уравнения:
x = -b/(2a) = -6/(2 * 1) = -3
9. Подставим значение x в уравнение прямой для нахождения y:
y = (3/4)(-3) + 25/4
y = -9/4 + 25/4
y = 16/4 = 4
Ответ:
Координаты точки касания: (-3, 4).