Докажите, что прямая 3х - 4у + 25 = 0 касается окружности х^2 + у^2 = 25, и найдите координаты точки касания.
от

1 Ответ

Дано:
1. Уравнение окружности: x^2 + y^2 = 25 (центр O(0, 0), радиус R = 5)
2. Уравнение прямой: 3x - 4y + 25 = 0

Найти:
Координаты точки касания прямой к окружности.

Решение:

1. Приведем уравнение прямой к более удобному виду:
   4y = 3x + 25
   y = (3/4)x + 25/4

2. Подставим выражение для y в уравнение окружности:
   x^2 + ((3/4)x + 25/4)^2 = 25

3. Раскроем скобки:
   x^2 + (9/16)x^2 + (2 * (3/4)(25/4)x) + (625/16) = 25

   x^2 + (9/16)x^2 + (150/16)x + (625/16) = 25

4. Приведем подобные:
   (16/16)x^2 + (9/16)x^2 + (150/16)x + (625/16) = 25
   (25/16)x^2 + (150/16)x + (625/16) - 25 = 0

5. Приведем 25 к общему знаменателю:
   25 = 400/16

   (25/16)x^2 + (150/16)x + (625/16) - (400/16) = 0
   (25/16)x^2 + (150/16)x + (225/16) = 0

   Умножим обе стороны на 16:
   25x^2 + 150x + 225 = 0

6. Разделим уравнение на 25:
   x^2 + 6x + 9 = 0

7. Найдем дискриминант:
   D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0

   Поскольку D = 0, прямая касается окружности в одной точке.

8. Найдем корень уравнения:
   x = -b/(2a) = -6/(2 * 1) = -3

9. Подставим значение x в уравнение прямой для нахождения y:
   y = (3/4)(-3) + 25/4
   y = -9/4 + 25/4
   y = 16/4 = 4

Ответ:
Координаты точки касания: (-3, 4).
от