Дано:
Трапеция ABCD с вершинами A(-2; -2), B(-3; 1), C(7; 7), D(3; 1).
Найти:
Координаты точки пересечения диагоналей AC и BD, а также уравнение средней линии трапеции.
Решение:
1. Найдем уравнения диагоналей AC и BD.
Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки, используем формулу:
y - y1 = m(x - x1),
где m - угловой коэффициент, который вычисляется как:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1).
2. Сначала найдем уравнение прямой AC:
Точки A(-2; -2) и C(7; 7):
m_AC = (7 - (-2)) / (7 - (-2)) = 9 / 9 = 1.
Уравнение прямой AC:
y - (-2) = 1(x - (-2)),
y + 2 = x + 2,
y = x.
3. Теперь найдем уравнение прямой BD:
Точки B(-3; 1) и D(3; 1):
m_BD = (1 - 1) / (3 - (-3)) = 0 / 6 = 0.
Уравнение прямой BD (горизонтальная прямая y = 1):
y = 1.
4. Найдем точку пересечения диагоналей AC и BD, подставив y = 1 в уравнение AC:
1 = x.
Значит, x = 1.
Координаты точки пересечения:
P(1; 1).
5. Теперь составим уравнение средней линии трапеции:
Средняя линия трапеции соединяет середины оснований.
Сначала найдем середины отрезков AB и CD:
M_AB = ((-2 + (-3))/2; (-2 + 1)/2) = (-2.5; -0.5).
M_CD = ((7 + 3)/2; (7 + 1)/2) = (5; 4).
6. Уравнение прямой, проходящей через точки M_AB и M_CD:
Рассчитаем угловой коэффициент:
m = (4 - (-0.5)) / (5 - (-2.5)) = 4.5 / 7.5 = 0.6.
Уравнение средней линии:
y - (-0.5) = 0.6(x - (-2.5)),
y + 0.5 = 0.6(x + 2.5),
y + 0.5 = 0.6x + 1.5,
y = 0.6x + 1.
Ответ:
Координаты точки пересечения диагоналей: P(1; 1).
Уравнение средней линии: y = 0.6x + 1.