Дано:
|a| = 1 (модуль вектора a)
|b| = 2 (модуль вектора b)
угол между векторами a и b равен 60°.
Найти:
а) модуль вектора a + b;
б) модуль вектора a - b;
в) модуль вектора 2a - 3b;
г) косинус угла между векторами 3a - b и a + b.
Решение:
а) Модуль вектора a + b можно найти по формуле:
|a + b| = sqrt(|a|^2 + |b|^2 + 2|a||b|cos(θ)
где θ - угол между векторами a и b.
Подставляем значения:
|a + b| = sqrt(1^2 + 2^2 + 2 * 1 * 2 * cos(60°))
= sqrt(1 + 4 + 2 * 1 * 2 * 0.5)
= sqrt(1 + 4 + 2)
= sqrt(7)
Ответ: |a + b| = sqrt(7).
б) Модуль вектора a - b можно также найти по формуле:
|a - b| = sqrt(|a|^2 + |b|^2 - 2|a||b|cos(θ)
Подставляем значения:
|a - b| = sqrt(1^2 + 2^2 - 2 * 1 * 2 * cos(60°))
= sqrt(1 + 4 - 2)
= sqrt(3)
Ответ: |a - b| = sqrt(3).
в) Модуль вектора 2a - 3b можно найти по формуле:
|2a - 3b| = sqrt(|2a|^2 + |3b|^2 - 2|2a||3b|cos(θ)
Где |2a| = 2|a| = 2 и |3b| = 3|b| = 6.
Подставляем значения:
|2a - 3b| = sqrt(2^2 + 6^2 - 2 * 2 * 6 * cos(60°))
= sqrt(4 + 36 - 12)
= sqrt(28)
Ответ: |2a - 3b| = sqrt(28).
г) Для нахождения косинуса угла между векторами 3a - b и a + b, воспользуемся формулой:
cos(φ) = ( (3a - b) • (a + b) ) / (|3a - b| * |a + b|)
Сначала находим скалярное произведение (3a - b) • (a + b):
(3a - b) • (a + b) = 3a • a + 3a • b - b • a - b • b
Значения:
a • a = |a|^2 = 1,
b • b = |b|^2 = 4,
a • b = |a||b|cos(60°) = 1 * 2 * 0.5 = 1.
Подставляем:
(3a - b) • (a + b) = 3 * 1 + 3 * 1 - 1 - 4
= 3 + 3 - 1 - 4
= 1.
Теперь находим модули |3a - b| и |a + b|:
|3a - b| = sqrt(|3a|^2 + |b|^2 - 2|3a||b|cos(θ)
= sqrt(9 + 4 - 6)
= sqrt(7).
|a + b| мы уже нашли:
|a + b| = sqrt(7).
Теперь можем найти косинус угла:
cos(φ) = 1 / (sqrt(7) * sqrt(7))
= 1 / 7.
Ответ: cos(φ) = 1/7.