Дано:
- Два ненулевых вектора A и B.
- Модуль суммы векторов равен модулю их разности, то есть |A + B| = |A - B|.
Найти:
- Угол между векторами A и B.
Решение:
1. Обозначим длины векторов как |A| = L и |B| = L, поскольку |A + B| = |A - B|.
2. Используем формулы для модулей суммы и разности векторов:
|A + B|^2 = (A + B) • (A + B) = A • A + 2A • B + B • B
|A - B|^2 = (A - B) • (A - B) = A • A - 2A • B + B • B
3. Поскольку |A| = L и |B| = L, имеем:
A • A = L^2
B • B = L^2
Подставляем эти значения в формулы:
|A + B|^2 = L^2 + 2A • B + L^2 = 2L^2 + 2A • B
|A - B|^2 = L^2 - 2A • B + L^2 = 2L^2 - 2A • B
4. По условию задачи |A + B| = |A - B|, поэтому:
|A + B|^2 = |A - B|^2
Подставляем выражения для квадратов модулей:
2L^2 + 2A • B = 2L^2 - 2A • B
5. Упрощаем уравнение:
2A • B = -2A • B
4A • B = 0
A • B = 0
6. Скалярное произведение двух векторов равно нулю, если и только если векторы перпендикулярны друг другу.
Ответ:
Угол между векторами A и B равен 90°.