Дано:
- Три вектора A, B и C, которые имеют одинаковую длину.
- Сумма векторов равна нулю: A + B + C = 0.
Найти:
- Углы между этими векторами.
Решение:
1. Поскольку A + B + C = 0, то вектор C можно выразить как C = - (A + B).
2. Найдем квадрат длины вектора C:
|C|^2 = |-(A + B)|^2 = |A + B|^2
3. Используем формулу для модуля суммы двух векторов:
|A + B|^2 = A • A + 2A • B + B • B
Поскольку A и B имеют одинаковую длину (|A| = |B| = L), то:
A • A = L^2
B • B = L^2
Поэтому:
|A + B|^2 = L^2 + 2A • B + L^2 = 2L^2 + 2A • B
4. Теперь подставим это в уравнение для |C|^2:
|C|^2 = 2L^2 + 2A • B
5. Поскольку длина вектора C также равна L:
|C|^2 = L^2
Поэтому:
L^2 = 2L^2 + 2A • B
6. Упрощаем уравнение:
L^2 = 2L^2 + 2A • B
-L^2 = 2A • B
A • B = -L^2 / 2
7. Аналогично, для углов между другими векторами B и C, а также A и C, можно записать:
A • C = -L^2 / 2
B • C = -L^2 / 2
8. Используем скалярное произведение для нахождения углов между векторами:
A • B = |A||B|cos(θ_AB) = L^2cos(θ_AB)
-L^2 / 2 = L^2cos(θ_AB)
cos(θ_AB) = -1/2
θ_AB = 120°
Аналогично, углы между B и C, A и C также равны 120°.
Ответ:
Углы между векторами A, B и C равны 120°.