Дано:
- Два ненулевых вектора A и B имеют равные длины, т.е. |A| = |B|.
- Модуль разности этих векторов равен длине каждого из векторов, т.е. |A - B| = |A| = |B|.
Найти:
- Угол между векторами A и B.
Решение:
1. Обозначим длину векторов как |A| = |B| = L. Тогда |A - B| = L.
2. Используем формулу для модуля разности двух векторов:
|A - B|^2 = (A - B) • (A - B)
Раскроем скобки и воспользуемся свойствами скалярного произведения:
|A - B|^2 = A • A - 2A • B + B • B
3. Поскольку |A| = L и |B| = L, мы знаем, что:
A • A = L^2
B • B = L^2
Следовательно:
|A - B|^2 = L^2 - 2A • B + L^2
= 2L^2 - 2A • B
4. По условию задачи |A - B| = L, следовательно:
|A - B|^2 = L^2
Подставляем в выражение:
L^2 = 2L^2 - 2A • B
5. Переносим 2L^2 на одну сторону уравнения:
L^2 - 2L^2 = -2A • B
-L^2 = -2A • B
A • B = L^2 / 2
6. Используем формулу скалярного произведения:
A • B = |A| |B| cos(θ)
Подставляем |A| = |B| = L:
A • B = L^2 cos(θ)
7. Сравниваем это с ранее найденным значением:
L^2 cos(θ) = L^2 / 2
cos(θ) = 1 / 2
8. Угол θ, для которого cos(θ) = 1 / 2, равен 60° или π/3 радиан.
Ответ:
Угол между векторами A и B равен 60°.