Дано:
Равнобедренный прямоугольный треугольник ABC, где угол A = 90 градусов, AB = AC = a.
Найти:
Величину острого угла между медианами, проведенными из вершин острых углов B и C.
Решение:
1. Находим координаты вершин треугольника. Установим:
A(0, 0),
B(a, 0),
C(0, a).
2. Находим середины оснований:
Середина отрезка BC (M) будет вычисляться как:
M = ((a + 0)/2, (0 + a)/2) = (a/2, a/2).
3. Находим векторы BM и CM:
Вектор BM = M - B = (a/2 - a, a/2 - 0) = (-a/2, a/2).
Вектор CM = M - C = (a/2 - 0, a/2 - a) = (a/2, -a/2).
4. Находим длины векторов BM и CM:
|BM| = sqrt((-a/2)^2 + (a/2)^2) = sqrt(a^2/4 + a^2/4) = sqrt(a^2/2) = (a/sqrt(2)).
|CM| = sqrt((a/2)^2 + (-a/2)^2) = sqrt(a^2/4 + a^2/4) = sqrt(a^2/2) = (a/sqrt(2)).
5. Находим скалярное произведение векторов BM и CM:
BM • CM = (-a/2) * (a/2) + (a/2) * (-a/2) = -a^2/4 - a^2/4 = -a^2/2.
6. Используем формулу для нахождения угла между векторами:
cos(θ) = (BM • CM) / (|BM| * |CM|).
7. Подставляем значения в формулу:
cos(θ) = (-a^2/2) / ((a/sqrt(2)) * (a/sqrt(2))) = (-a^2/2) / (a^2/2) = -1.
8. Находим угол θ:
θ = arccos(-1) = 180 градусов.
9. Поскольку нас интересует острый угол между медианами, то:
острый угол = 180 - 90 = 90 градусов.
Ответ:
Острый угол между медианами равен 90 градусов.