Дано: выпуклый четырёхугольник ABCD с вершинами A, B, C, D, и точка P внутри этого четырёхугольника. Пусть расстояния от точки P до сторон AB, BC, CD и DA равны d1, d2, d3 и d4 соответственно.
Найти: показать, что если сумма d1 + d2 + d3 + d4 постоянна для любой точки P внутри четырёхугольника, то он является параллелограммом.
Решение:
1. Рассмотрим произвольную точку P внутри четырехугольника ABCD. Обозначим расстояния от этой точки до сторон AB, BC, CD и DA как d1, d2, d3 и d4 соответственно.
2. Поскольку сумма d1 + d2 + d3 + d4 постоянна для всех точек P внутри ABCD, давайте зафиксируем одну из этих точек, например, точку P1, и определим ее расстояния от сторон: d1(P1), d2(P1), d3(P1), d4(P1).
3. Теперь переместим точку P вдоль линии, параллельной стороне AB, на некоторое малое расстояние h вверх (или вниз). Расстояния от точки P ко всем сторонам будут изменены следующим образом:
- d1' = d1(P1) - h (если перемещение вверх)
- d2' = d2(P1) + h (если перемещение вверх)
- d3' = d3(P1) + h (если перемещение вверх)
- d4' = d4(P1) - h (если перемещение вверх)
4. Сумма новых расстояний будет равна:
S' = d1' + d2' + d3' + d4' = (d1(P1) - h) + (d2(P1) + h) + (d3(P1) + h) + (d4(P1) - h) = d1(P1) + d2(P1) + d3(P1) + d4(P1)
5. Из этого уравнения видно, что изменение высоты приводит к изменению местоположения точки P, но сумма остаётся постоянной только в том случае, если h равно нулю для всех перемещений.
6. Это означает, что при любом изменении положения внутренней точки P, необходимо сохранять равенство расстояний, что может происходить только тогда, когда стороны ABCD являются параллельными попарно, то есть ABCD является параллелограммом.
7. Таким образом, мы приходим к выводу, что четырехугольник ABCD должен быть параллелограммом, чтобы сумма расстояний от любой внутренней точки до его сторон оставалась постоянной.
Ответ: Четырехугольник ABCD — это параллелограмм.