Дано: выпуклый многоугольник с n сторонами.
Найти: доказать, что в выпуклом многоугольнике может быть не более четырёх острых углов.
Решение:
1. В выпуклом многоугольнике все внутренние углы меньше 180°.
2. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника вычисляется по формуле:
S = (n - 2) * 180°, где n - количество сторон.
3. Обозначим количество острых углов как k. Остальные углы будут тупыми, то есть больше 90°.
4. Пусть x - количество тупых углов. Тогда:
x = n - k.
5. Острые углы имеют значение меньше 90°, следовательно:
k * 90° + (n - k) * 180° < S,
k * 90° + (n - k) * 180° < (n - 2) * 180°.
6. Упростим это неравенство:
k * 90 + n * 180 - k * 180 < n * 180 - 360,
k * 90 < 360,
k < 4.
7. Это означает, что количество острых углов k может быть не более 4.
Ответ: Доказано, что в выпуклом многоугольнике может быть не более четырёх острых углов.