Дано:
Выпуклый шестиугольник ABCDEF, все внутренние углы при вершинах равны.
AB = 3,
BC = 4,
CD = 5,
EF = 1.
Найти: длины сторон DE и AF.
Решение:
Пусть сумма внутренних углов шестиугольника равна 720 градусам, так как для n-угольника сумма углов равна (n-2) * 180. Для шестиугольника это (6-2) * 180 = 720 градусов. Так как все углы равны, то каждый угол равен 720 / 6 = 120 градусов.
Мы можем использовать метод равнобедренного треугольника и свойства векторов, чтобы найти стороны DE и AF. Из условия равенства углов следует, что шестиугольник можно разбить на два треугольника.
Определим векторные стороны:
1. Пусть вектор AB = (3, 0).
2. Вектор BC будет образовывать угол 120 градусов к вектору AB. Используем координаты:
BC = (4 * cos(120°), 4 * sin(120°)) = (4 * (-0.5), 4 * (sqrt(3)/2)) = (-2, 2√3).
3. Вектор CD также образует угол 120 градусов к BC. Поэтому:
CD = (5 * cos(240°), 5 * sin(240°)) = (5 * (-0.5), 5 * (-√3/2)) = (-2.5, -2.5√3).
4. Вектор EF = (1, 0).
Теперь найдем координаты точек D и E:
- Координаты точки C:
(3 + (-2), 0 + 2√3) = (1, 2√3).
- Точка D:
(1 + (-2.5), 2√3 - 2.5√3) = (-1.5, -0.5√3).
- Точка E:
(-1.5 + 1, -0.5√3) = (-0.5, -0.5√3).
Теперь найдем сторону DE:
DE = sqrt((x2 - x1)² + (y2 - y1)²),
где x1 = -1.5, y1 = -0.5√3, x2 = -0.5, y2 = -0.5√3.
DE = sqrt((-0.5 + 1.5)² + ((-0.5√3) - (-0.5√3))²) = sqrt((1)² + 0) = 1.
Теперь найдем сторону AF.
Используем аналогичный подход:
AF = sqrt((x2 - x1)² + (y2 - y1)²), где x1 = 3, y1 = 0, x2 = -0.5, y2 = -0.5√3.
AF = sqrt((-0.5 - 3)² + ((-0.5√3) - 0)²) = sqrt((-3.5)² + (-0.5√3)²)
= sqrt(12.25 + 0.75) = sqrt(13).
Ответ:
Длина стороны DE = 1, длина стороны AF = √(13).