Дано:
Квадрат ABCD со сторонами длиной a. Точка K находится на продолжении диагонали AC за точкой C так, что BK = AC.
Найти:
Угол KС.
Решение:
1. Рассмотрим квадрат ABCD. Длина сторон квадрата равна a. Тогда длины его диагоналей можно найти по формуле:
AC = a√2.
2. По условию задачи, отрезок BK равен AC, следовательно:
BK = a√2.
3. Теперь определим координаты точек. Пусть:
A(0, 0),
B(a, 0),
C(a, a),
D(0, a).
4. Точка K будет лежать на продолжении AC, вектор AC можно найти так:
AC = C - A = (a, a) - (0, 0) = (a, a).
5. Чтобы найти координаты точки K, нам нужно переместить C вдоль направления вектора AC на расстояние BK:
K = C + t * AC,
где t – это длина отрезка BK/ |AC|, t = a√2 / √(a^2 + a^2) = a√2 / (a√2) = 1.
6. Таким образом, K будет находиться на прямой AC на расстоянии AC от C. Находим координаты K:
K = C + (1)(a, a) = (a, a) + (a, a) = (2a, 2a).
7. Теперь найдем угол KС. Для этого нам нужно рассмотреть треугольник BKC и угол КС.
8. Угол KС образован линией KC и вертикальной линией CD. Угол KС является углом между двумя векторами:
Vector KC = K - C = (2a, 2a) - (a, a) = (a, a).
9. Угол между вектором KC и горизонтальной осью можно найти с помощью тангенса угла:
tg(KC) = (y_координата)/(x_координата) = a/a = 1.
10. Это означает, что угол KС равен 45 градусам.
Ответ:
Таким образом, угол KС равен 45 градусов.