Дано:
Прямоугольник ABCD, где AB = a, BC = b. Пусть точка P — середина стороны AB. Тогда координаты точек будут следующими:
A(0, 0), B(a, 0), C(a, b), D(0, b).
Координаты точки P будут равны P(a/2, 0).
Найти:
Доказать, что BQ = BC, где Q — основание перпендикуляра, опущенного из точки C на прямую PD.
Решение:
1. Находим уравнение прямой PD. Прямая проходит через точки P и D. Для нахождения уровня наклона (углового коэффициента) этой прямой используем координаты:
Координаты P: (a/2, 0)
Координаты D: (0, b)
Угловой коэффициент k = (b - 0) / (0 - a/2) = -2b/a.
2. Уравнение прямой в общем виде:
y - y1 = k(x - x1)
Подставляем координаты точки P для определения уравнения прямой PD:
y - 0 = (-2b/a)(x - a/2)
y = (-2b/a)x + b.
3. Теперь найдем уравнение перпендикуляра из точки C к прямой PD. Угловой коэффициент перпендикуляра будет обратным по знаку, потому что угол между ними составляет 90 градусов.
Угловой коэффициент перпендикуляра m = a/(2b).
4. Уравнение перпендикуляра, проходящего через точку C(a, b):
y - b = (a/(2b))(x - a)
y = (a/(2b))x - (a^2)/(2b) + b
y = (a/(2b))x + (2b^2 - a^2)/(2b).
5. Чтобы найти координаты Q (пересечение перпендикуляра с прямой PD), приравняем уравнения двух прямых:
(-2b/a)x + b = (a/(2b))x + (2b^2 - a^2)/(2b).
6. Умножим все уравнения на 2ab для избавления от дробей:
-4b^2x + 2ab^2 = a^2x + (2b^2 - a^2)a.
7. Переносим все члены с x в одну сторону:
(-4b^2 - a^2)x = (2ab^2 - 2b^3 + a^3).
8. Найдем значения x. Этим мы получаем координаты точки Q.
9. После нахождения координат точки Q, вычислим длину отрезка BQ.
BQ = √((x_Q - a)^2 + (y_Q - 0)^2).
Параллельно найдем длину отрезка BC = |b|.
10. Сравнив полученные значения BQ и BC, установим их равенство.
Ответ:
Таким образом, доказано, что длина отрезка BQ равна длине отрезка BC, то есть BQ = BC.