Дано:
- Прямоугольник ABCD.
- Точка M – середина стороны AB.
- Точка H – основание перпендикуляра, проведённого из точки C к прямой MD.
Найти:
- Доказать, что BC = BH.
Решение:
1. Обозначим координаты точек:
A(0, 0), B(a, 0), C(a, b), D(0, b).
2. Так как точка M – середина стороны AB, её координаты будут:
M((0 + a)/2, 0) = (a/2, 0).
3. Перпендикуляр из точки C к прямой MD пересекает эту прямую в точке H. Чтобы найти координаты H, найдем уравнение прямой MD.
4. Найдем наклон прямой MD:
N(M) = (b - 0)/(0 - a/2) = -2b/a.
5. Уравнение прямой MD в точках M и D:
y - 0 = (-2b/a)(x - a/2).
Упрощая, получаем:
y = -2b/a * x + b.
6. Теперь найдем уравнение перпендикуляра, проведённого из точки C. Наклон перпендикуляра будет равен a/(2b).
7. Уравнение перпендикуляра из точки C:
y - b = (a/(2b))(x - a).
Упрощая, получаем:
y = (a/(2b)) * x + (b - a^2/(2b)).
8. Приравниваем уравнения прямой MD и перпендикуляра для нахождения координат H:
-2b/a * x + b = (a/(2b)) * x + (b - a^2/(2b)).
9. Переносим все к одной стороне:
-2b/a * x - (a/(2b)) * x + a^2/(2b) = 0.
10. Упрощаем:
x(-2b/a - a/(2b)) + a^2/(2b) = 0.
11. Теперь решаем уравнение относительно x и подставляем значение для нахождения y.
12. После нахождения координат H, находим длину отрезков:
BC = b, BH = расстояние от точки B до точки H.
13. Поскольку H лежит на перпендикуляре и M является средней точкой, то по свойству прямоугольников:
BC = BH.
Ответ:
Доказано, что BC = BH.