Дано:
- Радиус орбиты спутника R_орб = 6 * 10^9 м
- Скорость спутника v_спут = 40 км/с = 40 * 10^3 м/с
- Радиус планеты R_план = 4 * 10^8 м
Найти:
- Плотность планеты ρ_план
Решение:
1. Найдем массу планеты, используя формулу для центростремительного ускорения и закон всемирного тяготения. Центростремительное ускорение a_ц = v_спут^2 / R_орб.
a_ц = (40 * 10^3)^2 / (6 * 10^9) = 1.6 * 10^6 / 6 * 10^9 = 2.67 * 10^-4 м/с^2.
2. Установим связь между центростремительным ускорением и гравитационным:
a_ц = G * M_план / R_орб^2,
где G = 6.674 * 10^-11 Н·м^2/кг^2 – гравитационная постоянная.
3. Подставим известные значения и найдем массу планеты M_план:
M_план = a_ц * R_орб^2 / G.
Подставляем значения:
M_план = (2.67 * 10^-4) * (6 * 10^9)^2 / (6.674 * 10^-11).
4. Вычислим:
M_план = (2.67 * 10^-4) * (36 * 10^{18}) / (6.674 * 10^-11).
M_план = (96.12 * 10^{14}) / (6.674 * 10^-11) ≈ 1.44 * 10^{26} кг.
5. Теперь найдем объем планеты V_план по формуле для объема сферы:
V_план = (4/3) * π * R_план^3.
Подставим R_план:
V_план = (4/3) * π * (4 * 10^8)^3.
V_план = (4/3) * π * (64 * 10^{24}) = (256/3) * π * 10^{24} м^3.
6. Теперь найдем плотность планеты ρ_план:
ρ_план = M_план / V_план.
Подставляем:
ρ_план = (1.44 * 10^{26}) / ((256/3) * π * 10^{24}).
7. Вычислим:
ρ_план ≈ (1.44 * 10^{26}) / (268.08 * 10^{24}) ≈ 537.2 кг/м^3.
Ответ:
Плотность планеты составляет примерно 537.2 кг/м^3.