Дано:
Масса Земли (M) = 6 * 10^24 кг
Гравитационная постоянная (G) = 6.674 * 10^-11 Н·м²/кг²
Радиус Земли (R) ≈ 6.371 * 10^6 м (для расчётов используем приближенное значение)
Найти: радиус круговой орбиты (r), при котором спутник будет находиться над одной и той же точкой на экваторе.
Решение:
Спутник, который находится над одной и той же точкой на экваторе, должен иметь период обращения (T), равный времени вращения Земли вокруг своей оси. Это время составляет примерно 24 часа, или 86400 секунд.
Сначала воспользуемся формулой для центростремительного ускорения спутника:
a = v^2 / r
где v - скорость спутника, а r - расстояние от центра Земли до спутника. Также известно, что центростремительное ускорение равно гравитационному:
a = G * M / r^2
Приравняем оба выражения для a:
v^2 / r = G * M / r^2
Отсюда выразим скорость v:
v^2 = G * M / r
Скорость спутника также можно выразить через период обращения T:
v = 2 * π * r / T
Теперь подставим это выражение для v в уравнение:
(2 * π * r / T)^2 = G * M / r
Преобразуем уравнение:
4 * π^2 * r^2 / T^2 = G * M / r
Умножим обе стороны на r:
4 * π^2 * r^3 / T^2 = G * M
Теперь решим уравнение относительно r:
r^3 = (G * M * T^2) / (4 * π^2)
r = ((G * M * T^2) / (4 * π^2))^(1/3)
Теперь подставим известные значения:
G = 6.674 * 10^-11 Н·м²/кг²
M = 6 * 10^24 кг
T = 86400 с
r = ((6.674 * 10^-11 * 6 * 10^24 * (86400)^2) / (4 * π^2))^(1/3)
Выполним вычисления:
Сначала найдем числитель:
6.674 * 10^-11 * 6 * 10^24 * (86400)^2
= 6.674 * 6 * (86400^2) * 10^(24 - 11)
= 40.044 * (86400^2) * 10^13
Теперь вычислим (86400)^2:
(86400)^2 = 7.46496 * 10^9
Подставим обратно:
40.044 * 7.46496 * 10^13 = 298.033 * 10^13 = 2.98033 * 10^15
Теперь вычисляем:
r = ((2.98033 * 10^15) / (4 * π^2))^(1/3)
Сначала находим 4 * π^2:
4 * π^2 ≈ 39.478
Теперь делим:
r^3 ≈ (2.98033 * 10^15) / 39.478
≈ 7.54874 * 10^13
Теперь находим кубический корень:
r ≈ (7.54874 * 10^13)^(1/3)
≈ 4.223 * 10^4 м
Но не забудем добавить радиус Земли:
r_total ≈ R + r
≈ 6.371 * 10^6 + 4.223 * 10^4
≈ 6.41323 * 10^6 м
Ответ:
Радиус круговой орбиты искусственного спутника Земли, чтобы он всё время находился над одной и той же точкой на экваторе, составляет примерно 6.413 * 10^6 метров.