Дано:
r = 1 м (радиус петли)
g = 9,81 м/с² (ускорение свободного падения)
h_min = ? (минимальная высота)
Найти:
минимальная высота h_min, с которой шарик должен начать движение.
Решение:
1. На верхней точке петли сила тяжести и центробежная сила должны обеспечивать необходимое ускорение для того, чтобы шарик не оторвался от желоба. В этой точке необходимо, чтобы центростремительное ускорение было равно ускорению свободного падения.
Центростремительное ускорение a_c можно выразить через скорость v на верхней точке петли:
a_c = v^2 / r.
2. На верхней точке петли действуют две силы: сила тяжести mg и нормальная сила N. Для того, чтобы шарик не оторвался от желоба, должно выполняться условие:
mg - N = ma_c,
где N ≥ 0 (нормальная сила не может быть отрицательной).
Для минимального случая, когда N = 0, у нас получается:
mg = m * (v^2 / r).
3. Упростим уравнение, сократив массу m:
g = v^2 / r.
Следовательно, скорость v на верхней точке петли равна:
v = sqrt(g * r).
Подставляем значения:
v = sqrt(9,81 * 1) ≈ 3,13 м/с.
4. Теперь найдем минимальную высоту h_min, с которой шарик должен начать движение. Используем закон сохранения механической энергии.
Начальная потенциальная энергия на высоте h_min равна конечной потенциальной энергии на верхней точке петли плюс кинетическая энергия на верхней точке петли:
m * g * h_min = m * g * (2r) + (1/2) * m * v^2.
Сократим массу m и подставим r = 1 м:
g * h_min = g * 2 + (1/2) * v^2.
5. Подставим значение v^2, которое мы нашли ранее:
g * h_min = g * 2 + (1/2) * (9,81 * 1).
6. Упростим уравнение:
h_min = 2 + (1/2) * 9,81 / 9,81
h_min = 2 + 0,5 = 2,5 м.
Ответ:
Минимальная высота, с которой шарик должен начать движение, составляет 2,5 м.