Дано:
Масса первого шара m1 = 100 г = 0.1 кг
Масса второго шара m2 = 200 г = 0.2 кг
Скорость первого шара до удара v1 = 3 м/с
Скорость второго шара до удара v2 = 1 м/с
Найти:
Скорости шаров после удара v1' и v2'
Решение:
При абсолютно упругом ударе сохраняются как импульс, так и кинетическая энергия.
1. Сначала запишем закон сохранения импульса:
m1 * v1 + m2 * v2 = m1 * v1' + m2 * v2'
0.1 * 3 + 0.2 * 1 = 0.1 * v1' + 0.2 * v2'
0.3 + 0.2 = 0.1 * v1' + 0.2 * v2'
0.5 = 0.1 * v1' + 0.2 * v2' (1)
2. Следующий шаг — закон сохранения кинетической энергии:
(1/2) * m1 * v1^2 + (1/2) * m2 * v2^2 = (1/2) * m1 * (v1')^2 + (1/2) * m2 * (v2')^2
(1/2) * 0.1 * 3^2 + (1/2) * 0.2 * 1^2 = (1/2) * 0.1 * (v1')^2 + (1/2) * 0.2 * (v2')^2
0.5 * 0.1 * 9 + 0.5 * 0.2 * 1 = 0.05 * (v1')^2 + 0.1 * (v2')^2
0.45 + 0.1 = 0.05 * (v1')^2 + 0.1 * (v2')^2
0.55 = 0.05 * (v1')^2 + 0.1 * (v2')^2 (2)
3. Теперь решим систему уравнений (1) и (2).
Из уравнения (1) выразим v1':
v1' = (0.5 - 0.2 * v2') / 0.1
v1' = 5 - 2 * v2' (3)
4. Подставим (3) в (2):
0.55 = 0.05 * (5 - 2 * v2')^2 + 0.1 * (v2')^2
Разложим (5 - 2 * v2')^2:
(5 - 2 * v2')^2 = 25 - 20 * v2' + 4 * (v2')^2
0.55 = 0.05 * (25 - 20 * v2' + 4 * (v2')^2) + 0.1 * (v2')^2
0.55 = 1.25 - 1 * v2' + 0.2 * (v2')^2
0 = 0.2 * (v2')^2 - v2' + 0.7
5. Умножим уравнение на 5 для удобства:
0 = (v2')^2 - 5 * v2' + 3.5
6. Решим квадратное уравнение по формуле:
v2' = [5 ± sqrt(5^2 - 4 * 1 * 3.5)] / (2 * 1)
v2' = [5 ± sqrt(25 - 14)] / 2
v2' = [5 ± sqrt(11)] / 2
7. Вычислим v2':
v2' ≈ (5 ± 3.32) / 2
Таким образом, у нас есть два корня:
v2' ≈ (8.32) / 2 ≈ 4.16 м/с
или
v2' ≈ (1.68) / 2 ≈ 0.84 м/с
8. Подставим значение v2' в (3) для нахождения v1':
Для v2' ≈ 4.16:
v1' = 5 - 2 * 4.16 ≈ 5 - 8.32 ≈ -3.32 м/с
Для v2' ≈ 0.84:
v1' = 5 - 2 * 0.84 ≈ 5 - 1.68 ≈ 3.32 м/с
Однако, для физической корректности, принимаем только положительные значения скоростей:
Если v2' = 0.84 м/с, то v1' = 3.32 м/с.
Если v2' = 4.16 м/с, то v1' = -3.32 м/с (шар изменяет направление).
Ответ:
Скорость первого шара после удара v1' ≈ 3.32 м/с, скорость второго шара после удара v2' ≈ 0.84 м/с.