дано:
длина цилиндрического сосуда L = 1,2 м,
давление в первой половине P1,
давление во второй половине P2 = 2 * P1.
найти:
расстояние x, на которое переместится перегородка после ее отпускания.
решение:
Сначала определим силы, действующие на перегородку. Перегородка будет двигаться в сторону меньшего давления, так как она скользит без трения.
Сила, действующая на перегородку с одной стороны (P1), равна:
F1 = P1 * A,
где A - площадь поверхности перегородки.
Сила, действующая на перегородку с другой стороны (P2), равна:
F2 = P2 * A = (2 * P1) * A.
Разница сил, действующих на перегородку:
F = F2 - F1 = (2 * P1 * A) - (P1 * A) = P1 * A.
Теперь, чтобы найти перемещение перегородки, используем закон сохранения импульса. Когда перегородка отпускается, разница давлений вызывает ее движение. Перегородка начнет двигаться до тех пор, пока давление не уравняется с обеих сторон.
Пусть перегородка перемещается на расстояние x. Тогда объем газа в каждой из половин изменится.
Объем V1 в первой половине:
V1 = (L/2) * h1, где h1 – высота столба газа.
Объем V2 во второй половине:
V2 = (L/2) * h2, где h2 = (L/2) - x.
Для поддержания равновесия после перемещения перегородки можно записать уравнение для давления в обоих частях:
(P1 * V1) = (P2 * V2),
где P1 и P2 - давления после смещения перегородки.
Изменение объема газа в первой половине при перемещении перегородки на x:
V1' = (L/2) + A*x,
V2' = (L/2) - A*x.
При установившемся состоянии оба давления будут равны:
P1' = P2'.
Так как P2 = 2 * P1, можно подставить:
P1 * ((L/2) + A*x) = 2 * P1 * ((L/2) - A*x).
Упрощаем уравнение, делим на P1:
((L/2) + A*x) = 2 * ((L/2) - A*x).
Раскрываем скобки:
(L/2) + A*x = L - 2*A*x.
Переносим все термины с x в одну сторону:
A*x + 2*A*x = L - (L/2).
3*A*x = L/2.
Теперь выразим x:
x = (L/2) / (3*A).
Подставим известные значения:
x = (1,2 / 2) / (3*A) = 0,6 / (3*A).
Ответ зависит от площади A.
Если предположить, что A=1 м² (для упрощения расчетов), то:
x = 0,6 / 3 = 0,2 м.
ответ:
перегородка переместится на 0,2 м.