Дано:
- Количество капелек n = 100.
- Потенциал каждой капли V1 = 3 В.
Найти: потенциал большой капли V2.
Решение:
Потенциал сферы с зарядом определяется по формуле:
V = k * Q / R,
где
k = 8,99 * 10^9 Н·м²/Кл² - электрическая постоянная,
Q - заряд сферы,
R - радиус сферы.
При слиянии 100 маленьких капелек их заряды суммируются, а общий объем сохраняется. Объем одной капли можно выразить как:
V_single = (4/3) * π * r^3.
Объем 100 капелек будет равен:
V_total = n * V_single = n * (4/3) * π * r^3.
При слиянии капелек образуется одна большая капля, объем которой будет равен:
V_big = (4/3) * π * R^3.
Так как объем сохраняется:
(4/3) * π * R^3 = n * (4/3) * π * r^3.
Сократив (4/3) * π, получаем:
R^3 = n * r^3.
Теперь найдем радиус большой капли. Из этой формулы следует, что радиус большой капли будет:
R = (n^(1/3)) * r.
Потенциал заряженной сферы также зависит от ее заряда. Заряд каждой капли можно выразить через потенциал:
Q1 = C * V1,
где C - емкость сферы, которая для проводящей сферы равна:
C = 4 * π * ε0 * r, где ε0 = 8,85 * 10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.
Таким образом,
Q1 = 4 * π * ε0 * r * V1.
Теперь подставим Q1 в общее выражение для большого заряда Q_total:
Q_total = n * Q1 = n * (4 * π * ε0 * r * V1).
Подставив это значение в формулу потенциала для большой капли, получаем:
V2 = k * Q_total / R
= k * (n * (4 * π * ε0 * r * V1)) / ((n^(1/3)) * r)
= k * (4 * π * ε0 * V1) * (n^(2/3)).
Здесь мы видим, что все постоянные факторы, такие как 4 * π * ε0, остаются одинаковыми.
Поскольку k и V1 известны, можем выразить новый потенциал через старый:
V2 = V1 * (n^(2/3)).
Теперь подставим известные значения:
V2 = 3 * (100^(2/3)).
Вычислим (100^(2/3)):
100^(2/3) = (10^2)^(2/3) = 10^(4/3) ≈ 21,54.
Теперь подставим это значение в формулу:
V2 = 3 * 21,54 ≈ 64,62 В.
Ответ:
Потенциал большой капли составляет примерно 64,62 В.