дано:
Глубина водоема (h) = 5 м.
Радиус круга (r_circle) = 1 м.
Высота источника света над поверхностью воды (h_source) = 2 м.
Показатель преломления воды (n_water) = 1,33.
найти:
Радиус тени на дне водоема (r_shadow).
решение:
Сначала определим расстояние от источника света до поверхности воды. Это расстояние равно высоте источника света:
h_total = h_source + h = 2 м + 5 м = 7 м.
Далее, для нахождения радиуса тени на дне водоема воспользуемся законом преломления света и геометрией. Для этого необходимо рассчитать угол падения света на границе раздела сред.
Угол падения на границе воды и воздуха можно найти по следующей формуле:
sin(φ1) / sin(φ2) = n_water,
где φ1 — угол падения в воздухе, φ2 — угол преломления в воде.
Зная, что свет проходит из воздуха в воду, можем записать:
sin(φ2) = sin(φ1) / n_water.
Теперь найдем угол преломления φ2. Поскольку мы знаем, что свет идет от точечного источника к краям круга, можем выразить tan(φ1) через радиус круга и высоту:
tan(φ1) = r_circle / h_total = 1 / 7.
Используя тригонометрические соотношения, получаем:
sin(φ1) = tan(φ1) / sqrt(1 + tan^2(φ1)).
Теперь подставим значение tan(φ1):
sin(φ1) = (1/7) / sqrt(1 + (1/7)^2) = (1/7) / sqrt(1 + 1/49) = (1/7) / sqrt(50/49) = (1/7) * (7/sqrt(50)) = 1/sqrt(50).
Теперь можем найти sin(φ2):
sin(φ2) = sin(φ1) / n_water = (1/sqrt(50)) / 1,33.
Для дальнейших расчетов нужно вычислить sin(φ2):
sin(φ2) ≈ (0,1414) / 1,33 ≈ 0,1064.
Теперь найдем угол φ2:
φ2 = arcsin(0,1064).
После получения угла φ2, используем его для вычисления радиуса тени на дне водоема. Радиус тени будет равен:
r_shadow = h * tan(φ2).
Так как h — это глубина водоема (5 м), подставляем значения:
r_shadow = 5 * tan(arcsin(0,1064)).
Расчитаем это значение:
tan(φ2) = sin(φ2) / sqrt(1 - sin^2(φ2)) = 0,1064 / sqrt(1 - (0,1064)^2) ≈ 0,1064 / sqrt(0,9886) ≈ 0,1064 / 0,9943 ≈ 0,107.
Таким образом, радиус тени:
r_shadow ≈ 5 * 0,107 ≈ 0,535 м.
Ответ:
Радиус тени на дне водоема составляет приблизительно 0,535 м.