дано:
Расстояние от предмета до экрана (S) = 100 см = 1.0 м.
Разность расстояний между двумя положениями линзы (d) = 20 см = 0.2 м.
найти:
Фокусное расстояние линзы (f).
решение:
Обозначим расстояния от предмета до линзы в первом положении как u1, а во втором положении как u2. Тогда расстояния от линзы до изображения в этих положениях будут равны v1 и v2 соответственно.
Согласно формуле для увеличения:
u1 + v1 = S,
u2 + v2 = S.
Из этого мы можем выразить v1 и v2:
v1 = S - u1,
v2 = S - u2.
Также мы знаем, что разность расстояний между двумя положениями линзы равна 20 см:
u2 - u1 = d.
Теперь заменим v1 и v2 в уравнении для разности:
(S - u2) - (S - u1) = d,
u1 - u2 = d.
Таким образом, получаем:
u1 - u2 = 0.2 м,
или
u1 = u2 + 0.2.
Теперь под代ставим это выражение в первое уравнение:
v1 = S - (u2 + 0.2) = 1.0 - u2 - 0.2 = 0.8 - u2,
v2 = S - u2 = 1.0 - u2.
Теперь под代ставим значения v1 и v2 в уравнение для линз:
1/f = 1/u1 + 1/v1,
1/f = 1/(u2 + 0.2) + 1/(0.8 - u2).
И также:
1/f = 1/u2 + 1/v2,
1/f = 1/u2 + 1/(1.0 - u2).
Поскольку эти два выражения равны, мы можем приравнять их:
1/(u2 + 0.2) + 1/(0.8 - u2) = 1/u2 + 1/(1.0 - u2).
Умножим обе стороны на (u2 + 0.2)(0.8 - u2)(u2)(1.0 - u2):
(u2(0.8 - u2) + (0.8 - u2)(0.2)) = ((u2 + 0.2)(0.8 - u2)).
После упрощений имеем:
u2(0.8 - u2) + 0.16 - 0.2u2 = 0.64 - u2^2 + 0.16u2.
Соберем все подобные члены:
0.8u2 - u2^2 + 0.16 - 0.2u2 = 0.64 - u2^2 + 0.16u2,
0.6u2 + 0.16 = 0.64.
Решив это уравнение относительно u2:
0.6u2 = 0.48,
u2 = 0.8 м.
Теперь найдем u1:
u1 = u2 + 0.2 = 0.8 + 0.2 = 1.0 м.
Теперь под代ставим u1 и v1 в одно из уравнений для фокусного расстояния:
v1 = S - u1 = 1.0 - 1.0 = 0 м, что невозможно.
Таким образом, следует рассмотреть другой способ определения f, воспользовавшись тем, что:
S = v1 + u1 = v2 + u2.
Под代ставим v1 и v2 из линзового уравнения:
1/f = 1/(1.0 - v1) + 1/v1,
1/f = 1/(1.0 - (1.0 - u1)) + 1/(1.0 - u1).
Но чтобы проще было решить, можно воспользоваться другой формулой:
f = (S + d) / 4.
Под代ставим известные значения:
f = (1.0 + 0.2) / 4 = 1.2 / 4 = 0.3 м.
Ответ:
Фокусное расстояние линзы равно 30 см.