Дано:
Числовой набор: x1, x2, ..., xn.
Необходимо доказать, что стандартное отклонение (σ) любого числового набора не больше, чем его размах (R).
Решение:
1. Определим размах (R) числового набора:
Размах R = xmax - xmin,
где xmax - максимальное значение в наборе, xmin - минимальное значение.
2. Определим стандартное отклонение (σ):
Стандартное отклонение σ = √D, где D - дисперсия.
Дисперсия D определяется как:
D = (1/n) * Σ (xi - M)²,
где M - среднее значение набора, M = (x1 + x2 + ... + xn) / n.
3. Рассмотрим расстояния от каждого элемента до среднего значения:
Для любого элемента xi из набора выполняется неравенство:
|xi - M| ≤ R/2,
где R = xmax - xmin.
Это связано с тем, что максимальное отклонение от среднего значения не может превышать половину размаха.
4. Возведем обе стороны неравенства в квадрат:
(xi - M)² ≤ (R/2)².
5. Просуммируем это неравенство по всем элементам набора:
Σ (xi - M)² ≤ n * (R/2)².
6. Разделим обе части на n:
(1/n) * Σ (xi - M)² ≤ (R² / 4).
7. Таким образом, мы имеем:
D ≤ (R² / 4).
8. Подставим это неравенство в выражение для стандартного отклонения:
σ = √D ≤ √(R² / 4) = R / 2.
9. Однако, чтобы показать, что σ ≤ R, учтем, что размах R всегда больше или равен двойному стандартному отклонению, так как стандартное отклонение измеряет среднее квадратическое отклонение от среднего, а размах – абсолютное отклонение между крайними значениями.
Ответ:
Таким образом, мы доказали, что стандартное отклонение любого числового набора не больше, чем его размах, то есть σ ≤ R.