Дано:
Куб имеет 8 вершин и 12 рёбер. Необходимо раскрасить рёбра куба в два цвета: красный и зелёный.
Найти:
Можно ли раскрасить рёбра так, чтобы муравей мог пройти из любой вершины в любую только по красным рёбрам, а жук — только по зелёным?
Решение:
Для того чтобы муравей мог пройти по красным рёбрам от любой вершины к любой, необходимо, чтобы все красные рёбра образовывали связное подмножество рёбер куба. То же условие должно выполняться для жука, который проходит по зелёным рёбрам.
Поскольку куб имеет 12 рёбер, мы можем попробовать раскрасить их так, чтобы обе группы рёбер (красные и зелёные) были связными.
1. **Связность красных рёбер**:
Для того чтобы муравей мог пройти между всеми вершинами, нам нужно иметь как минимум 1 ребро, соединяющее каждую пару соседних вершин. Поэтому можно взять 6 рёбер, которые соединяют противоположные грани куба или образуют «параллельные» рёбра, например:
- Рёбра между A-B, A-C, A-D, F-B, F-C, F-D
2. **Связность зелёных рёбер**:
Оставшиеся 6 рёбер также могут быть связаны, чтобы жук мог перемещаться между всеми вершинами. Например:
- Рёбра A-E, B-E, C-E, D-E, F-E, F-G
Однако важно заметить, что если мы закрасим 6 рёбер красными, то остаётся всего 6 рёбер для зелёного цвета, что может привести к ситуации, когда один из насекомых не сможет добраться до определённых вершин.
3. **Общее количество рёбер**:
Если мы хотим, чтобы оба насекомых могли проходить между всеми вершинами без ограничений, то в идеале должны быть распределены равные количества рёбер между красным и зелёным цветами. Но в случае куба это невозможно, так как количество рёбер всегда будет зависеть от структуры самого куба.
В итоге:
Если одна группа рёбер будет полностью связной, то другая группа не сможет обеспечить такую же связность, поскольку в кубе всего 12 рёбер.
Ответ:
Нет, нельзя раскрасить рёбра куба в красный и зелёный цвета так, чтобы муравей мог пройти из любой вершины в любую только по красным рёбрам, а жук — только по зелёным.