Дано:
Железнодорожная сеть, представленная в виде связного графа, где города — это вершины, а дороги — рёбра.
Найти:
Город, закрытие дорог которого не нарушит возможность передвижения между остальными городами.
Решение:
1. Поскольку граф является связным, существует путь между любыми двумя вершинами (городами).
2. По теореме о центрах графа, в любом связном графе всегда существует хотя бы одна вершина, которая является центром или одно из центральных вершин. Центральная вершина минимизирует максимальное расстояние до остальных вершин.
3. Рассмотрим одну из таких центральных вершин и закроем все рёбра, ведущие к ней.
4. Остальные вершины остаются связными, так как центральная вершина была соединена с ними, но её удаление не разрывает связи между остальными вершинами.
5. Таким образом, останутся все другие города, и они по-прежнему будут связаны друг с другом.
Ответ:
Всегда можно выбрать такой город, что если закрыть на ремонт все ведущие в него дороги, то всё равно можно будет попасть из любого города в любой другой (кроме самого выбранного города).