дано:
1. Дерево с 5 вершинами.
2. Дерево с 50 вершинами.
3. Дерево с 2024 вершинами.
найти: Наименьшее и наибольшее количество листьев в дереве для каждого из случаев.
решение:
1. Определение листьев: Листья — это вершины дерева, которые имеют степень 1 (т.е. соединены только с одной другой вершиной).
2. Наименьшее количество листьев:
- Для минимизации числа листьев в дереве необходимо создать дерево, где как можно больше вершин имеют степень более 1. Наименьшее количество листьев достигается в случае полной степени у одной из вершин.
- Например, в дереве из 5 вершин можно сделать одну вершину корнем, а остальные 4 соединить с ней (полное звено). В этом случае листья будут только 4, если брать во внимание, что оставшаяся одна вершина может быть также самой высокой.
- Таким образом, наименьшее количество листьев в дереве с n вершинами равно 1 (при условии, что есть центральная вершина со всеми остальными соединениями).
Для 5 вершин: 1 лист.
Для 50 вершин: 1 лист.
Для 2024 вершин: 1 лист.
3. Наибольшее количество листьев:
- Для максимизации числа листьев необходимо создать дерево, где каждую вершину соединяют так, чтобы они были максимально разветвлены. Для максимального количества листьев каждая вершина должна соединяться с одной другой вершиной.
- Например, в дереве из 5 вершин, если каждая из 4 вершин соединена с одной (центральной) вершиной, то количество листьев здесь будет равно 4.
- В общем случае, максимальное количество листьев будет равно n - 1, так как одна вершина (корень) может иметь все остальные вершины как листья.
Для 5 вершин: 4 листа (максимум).
Для 50 вершин: 49 листов (максимум).
Для 2024 вершин: 2023 листа (максимум).
ответ:
Наименьшее количество листьев:
- для 5 вершин: 1
- для 50 вершин: 1
- для 2024 вершин: 1
Наибольшее количество листьев:
- для 5 вершин: 4
- для 50 вершин: 49
- для 2024 вершин: 2023