Question

В отделении банка стоят два банкомата. Первый может выдавать и принимать купюры, второй — только выдавать. Вероятность, что к концу дня купюры закончатся в первом автомате, равна 0,1, а что закончатся во втором, — 0,3. Вероятность, что они закончатся в двух автоматах, — 0,06. Найдите вероятность того, что к концу дня купюры:
 а) останутся в обоих автоматах;
 б) останутся хотя бы в одном автомате;
 в) закончатся хотя бы в одном автомате;
 г) закончатся только во втором банкомате, а в первом останутся;
 д) закончатся только в первом банкомате, а во втором останутся.

Answer 1

Дано:
1. Вероятность, что купюры закончатся в первом банкомате: P(A) = 0,1.
2. Вероятность, что купюры закончатся во втором банкомате: P(B) = 0,3.
3. Вероятность, что купюры закончатся в обоих банкоматах: P(A ∩ B) = 0,06.

Найти:
а) Вероятность того, что купюры останутся в обоих автоматах: P(не A и не B).  
б) Вероятность того, что купюры останутся хотя бы в одном автомате: P(не A ∪ не B).  
в) Вероятность того, что купюры закончатся хотя бы в одном автомате: P(A ∪ B).  
г) Вероятность того, что закончатся только во втором банкомате, а в первом останутся: P(B и не A).  
д) Вероятность того, что закончатся только в первом банкомате, а во втором останутся: P(A и не B).

Решение:

а) Для нахождения вероятности того, что купюры останутся в обоих автоматах, используем формулу:

P(не A и не B) = 1 - P(A ∪ B).

Сначала найдем P(A ∪ B) с помощью формулы включения-исключения:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
           = 0,1 + 0,3 - 0,06
           = 0,34.

Теперь можем найти P(не A и не B):

P(не A и не B) = 1 - P(A ∪ B)
                = 1 - 0,34
                = 0,66.

б) Вероятность того, что купюры останутся хотя бы в одном автомате равна:

P(не A ∪ не B) = 1 - P(A ∩ B).
Однако, мы уже нашли P(A ∪ B), поэтому можем использовать это значение.

P(не A ∪ не B) = 1 - P(A ∩ B)
                = 1 - 0,06
                = 0,94.

в) Вероятность того, что купюры закончатся хотя бы в одном автомате:

P(A ∪ B) = 0,34 (уже найдено ранее).

г) Вероятность того, что закончатся только во втором банкомате, а в первом останутся:

P(B и не A) = P(B) - P(A ∩ B)
             = 0,3 - 0,06
             = 0,24.

д) Вероятность того, что закончатся только в первом банкомате, а во втором останутся:

P(A и не B) = P(A) - P(A ∩ B)
             = 0,1 - 0,06
             = 0,04.

Ответ:
а) Вероятность, что купюры останутся в обоих автоматах: 0,66.  
б) Вероятность, что купюры останутся хотя бы в одном автомате: 0,94.  
в) Вероятность, что купюры закончатся хотя бы в одном автомате: 0,34.  
г) Вероятность, что закончатся только во втором банкомате, а в первом останутся: 0,24.  
д) Вероятность, что закончатся только в первом банкомате, а во втором останутся: 0,04.