дано:
- вероятность того, что погода сохранится на следующий день = 0,9
- вероятность изменения погоды на следующий день = 0,1
- 1 мая была дождливая погода.
найти:
Вероятность того, что 5 мая будет солнечно.
решение:
Сначала рассмотрим возможные изменения погоды с 1 по 5 мая. Погода может меняться или оставаться такой же. Обозначим дождливый день как D, а солнечный день как S. Мы можем представить цепочку дней следующим образом:
1 мая (D)
2 мая (D или S)
3 мая (D или S)
4 мая (D или S)
5 мая (D или S)
Теперь будем вычислять вероятности для каждого из дней до 5 мая.
- Вероятность того, что 2 мая будет солнечно:
P(S_2 | D_1) = P(S | D) = 0,1.
- Вероятность того, что 2 мая будет дождливо:
P(D_2 | D_1) = P(D | D) = 0,9.
- Теперь найдем вероятности для 3 мая:
1) Если 2 мая был дождь:
P(S_3 | D_2) = P(S | D) = 0,1,
P(D_3 | D_2) = P(D | D) = 0,9.
2) Если 2 мая было солнце:
P(S_3 | S_2) = P(S | S) = 0,9,
P(D_3 | S_2) = P(D | S) = 0,1.
Теперь посчитаем полную вероятность для 3 мая:
P(S_3) = P(S_3 | D_2) * P(D_2 | D_1) + P(S_3 | S_2) * P(S_2 | D_1)
= (0,1)*(0,9) + (0,9)*(0,1)
= 0,09 + 0,09 = 0,18.
Теперь найдем вероятности для 4 мая:
1) Если 3 мая был дождь:
P(S_4 | D_3) = P(S | D) = 0,1,
P(D_4 | D_3) = P(D | D) = 0,9.
2) Если 3 мая было солнце:
P(S_4 | S_3) = P(S | S) = 0,9,
P(D_4 | S_3) = P(D | S) = 0,1.
Теперь посчитаем полную вероятность для 4 мая:
P(S_4) = P(S_4 | D_3) * P(D_3) + P(S_4 | S_3) * P(S_3)
= (0,1)*(0,82) + (0,9)*(0,18)
= 0,082 + 0,162 = 0,244.
И наконец, найдем вероятность для 5 мая:
1) Если 4 мая был дождь:
P(S_5 | D_4) = P(S | D) = 0,1,
P(D_5 | D_4) = P(D | D) = 0,9.
2) Если 4 мая было солнце:
P(S_5 | S_4) = P(S | S) = 0,9,
P(D_5 | S_4) = P(D | S) = 0,1.
Теперь посчитаем полную вероятность для 5 мая:
P(S_5) = P(S_5 | D_4) * P(D_4) + P(S_5 | S_4) * P(S_4)
= (0,1)*(0,756) + (0,9)*(0,244)
= 0,0756 + 0,2196 = 0,2952.
ответ:
Вероятность того, что 5 мая будет солнце, равна 0,2952.