Дано: Отряд из 20 туристов, необходимо разделить на 3 группы: одну группу из 3 человек, вторую из 5 человек и третью из 12 человек.
Найти: Количество способов разделения отряда на указанные группы.
Решение:
1. Сначала выберем 3 человека для первой группы. Для этого используем комбинации C(n, k), где n - количество оставшихся людей, а k - число выбираемых людей.
Количество способов выбрать 3 человека из 20:
C(20, 3) = 20! / (3! * (20 - 3)!)
= 20! / (3! * 17!)
= (20 * 19 * 18) / (3 * 2 * 1)
= 1140.
2. После выбора первой группы у нас остается 17 человек. Теперь выберем 5 человек для второй группы.
Количество способов выбрать 5 человек из 17:
C(17, 5) = 17! / (5! * (17 - 5)!)
= 17! / (5! * 12!)
= (17 * 16 * 15 * 14 * 13) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1)
= 6188.
3. Третья группа будет состоять из оставшихся 12 человек, и для нее нет необходимости в дополнительных расчетах, так как оставшиеся участники автоматически формируют эту группу.
4. Теперь необходимо учесть, что порядок формирования групп не важен. Мы делим общее количество способов на количество перестановок групп, равное 3! (так как у нас три группы).
Количество перестановок групп:
3! = 6.
Теперь можем рассчитать общее количество способов разделения отряда:
Общее количество способов = C(20, 3) * C(17, 5) / 3!
= 1140 * 6188 / 6
= 1140 * 1031.3333
= 1174533.3333.
С учетом целочисленного деления, округляем до целого числа:
Общее количество способов = 1174533.
Ответ: 1174533 способа.