дано:
- всего принцесс в коллекции = 10
- уже имеющиеся принцессы = 2
- оставшиеся принцессы = 10 - 2 = 8
найти:
а) вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придётся купить 1 яйцо.
б) вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придётся купить больше 1 яйца.
в) вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придётся купить больше 2 яиц.
решение:
а) Вероятность того, что следующая принцесса будет нужной:
P(успех с 1 яйцом) = число благоприятных исходов / общее число исходов = количество оставшихся принцесс / общее количество принцесс = 8 / 10 = 0,8.
б) Чтобы купить больше 1 яйца, Маше нужно получить неудачу (т.е. у нее попалась принцесса, которую она уже имеет) на первой попытке и успешную попытку на второй или более поздней. Вероятность того, что первая попытка будет неудачей:
P(неудача на 1) = 2 / 10 = 0,2.
Теперь вероятность успеха на второй попытке (после неудачи):
P(успех на 2) = P(неудача) * P(успех) = 0,2 * 0,8 = 0,16.
Теперь необходимо учесть случаи, когда потребуется больше двух яиц. Для этого мы можем рассмотреть вероятность неудачи в первых n попытках и успеха на (n+1)-й попытке.
Общая вероятность для "больше 1 яйца" включает как случай, когда Маша получает нужную принцессу на 2-й попытке, так и на всех последующих. Это можно представить как бесконечную геометрическую прогрессию:
P(больше 1 яйца) = P(неудача на 1) * P(успех) + P(неудача на 1) * P(неудача на 2) * P(успех) + ...
Где P(неудача) = 0,2 и P(успех) = 0,8. Сумма бесконечной геометрической прогрессии:
S = a / (1 - r), где a - первый член, r - отношение.
Первый член: 0,2 * 0,8 = 0,16.
Отношение: 0,2.
Таким образом:
P(больше 1 яйца) = 0,16 / (1 - 0,2) = 0,16 / 0,8 = 0,2.
в) Для того чтобы купить больше 2 яиц, надо, чтобы в первые два яйца попались принцессы, которые уже есть.
Вероятность провала на первых двух попытках и успеха на третьей:
P(неудача на 1) * P(неудача на 2) * P(успех на 3) = (2/10) * (2/10) * (8/10) = 0,04 * 0,8 = 0,032.
Вероятность того, что на первой, второй и любой последующей попытке будут неудачи:
P(больше 2 яиц) = сумма вероятностей неудач на первых 2 попытках и успеха на 3-й и далее.
Это также представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию, и здесь стоит рассматривать только случай, если каждая из первых двух попыток была неудачей.
P(больше 2 яиц) = (2/10) * (2/10) * (1/(1 - 0,2)) * (8/10) = 0,04 / 0,8 = 0,05.
ответ:
а) 0,8
б) 0,2
в) 0,05