дано:
- вероятность рождения мальчика = 0,54
- вероятность рождения девочки = 1 - 0,54 = 0,46
найти:
количество детей n, при котором вероятность рождения хотя бы одного мальчика не меньше 0,9, 0,99 и 0,999.
решение:
Вероятность того, что в n рождениях не будет ни одного мальчика (т.е. все девочки) можно выразить как:
P(0 мальчиков) = (0,46)^n.
Следовательно, вероятность того, что хотя бы один мальчик родится:
P(хотя бы один мальчик) = 1 - P(0 мальчиков) = 1 - (0,46)^n.
Для нахождения необходимого количества детей n будем решать неравенства:
1. Для P(хотя бы один мальчик) ≥ 0,9:
1 - (0,46)^n ≥ 0,9
(0,46)^n ≤ 0,1.
Теперь найдем минимальное значение n:
log((0,46)^n) ≤ log(0,1)
n * log(0,46) ≤ log(0,1)
n ≥ log(0,1) / log(0,46).
Вычисляем:
log(0,1) = -1 (по основанию 10)
log(0,46) ≈ -0,3365.
Таким образом:
n ≥ -1 / -0,3365 ≈ 2,97.
Следовательно, n = 3 (так как количество детей должно быть целым).
2. Для P(хотя бы один мальчик) ≥ 0,99:
1 - (0,46)^n ≥ 0,99
(0,46)^n ≤ 0,01.
Находим минимальное n:
log((0,46)^n) ≤ log(0,01)
n * log(0,46) ≤ log(0,01)
n ≥ log(0,01) / log(0,46).
Вычисляем:
log(0,01) = -2
log(0,46) ≈ -0,3365.
Таким образом:
n ≥ -2 / -0,3365 ≈ 5,94.
Следовательно, n = 6.
3. Для P(хотя бы один мальчик) ≥ 0,999:
1 - (0,46)^n ≥ 0,999
(0,46)^n ≤ 0,001.
Находим минимальное n:
log((0,46)^n) ≤ log(0,001)
n * log(0,46) ≤ log(0,001)
n ≥ log(0,001) / log(0,46).
Вычисляем:
log(0,001) = -3
log(0,46) ≈ -0,3365.
Таким образом:
n ≥ -3 / -0,3365 ≈ 8,91.
Следовательно, n = 9.
ответ:
для вероятности рождения хотя бы одного мальчика не меньше 0,9 нужно 3 ребенка; для вероятности не меньше 0,99 нужно 6 детей; для вероятности не меньше 0,999 нужно 9 детей.