Question

Накануне контрольной работы по математике преподаватель опубликовал 10 задач и сообщил, что даст каждому ученику 5 задач, случайно выбранных из этих 10. Андрей знает решение семи из этих задач. С какой вероятностью он решит на контрольной:
 а) все 5 задач; б) 4 задачи?

Answer 1

Дано:  
- Общее количество задач: N = 10  
- Задачи, которые знает Андрей: K = 7  
- Количество задач, которые будет дано каждому ученику: M = 5  

Найти:  
а) Вероятность того, что Андрей решит все 5 задач.  
б) Вероятность того, что Андрей решит 4 задачи.  

Решение:  

1. Общее количество способов выбрать 5 задач из 10:  
C(10, 5) = 10! / (5! * (10 - 5)!) = 10! / (5! * 5!) = 252  

2. Для нахождения вероятности того, что Андрей решит все 5 задач, необходимо, чтобы все выбранные задачи были из тех, что он знает. Так как он знает 7 задач, количество способов выбрать 5 задач из этих 7 будет:  
C(7, 5) = 7! / (5! * (7 - 5)!) = 7! / (5! * 2!) = 21  

Вероятность того, что Андрей решит все 5 задач:  
P(все 5) = C(7, 5) / C(10, 5) = 21 / 252 = 1 / 12 ≈ 0.0833  

3. Теперь найдем вероятность того, что Андрей решит 4 задачи. Для этого он должен выбрать 4 задачи из тех, что знает (7 задач) и 1 задачу из тех, что не знает (3 задачи).  
Количество способов выбрать 4 задачи из 7:  
C(7, 4) = 7! / (4! * (7 - 4)!) = 7! / (4! * 3!) = 35  

Количество способов выбрать 1 задачу из 3:  
C(3, 1) = 3! / (1! * (3 - 1)!) = 3! / (1! * 2!) = 3  

Общее количество способов выбрать 4 задачи из 7 и 1 из 3:  
C(7, 4) * C(3, 1) = 35 * 3 = 105  

Вероятность того, что Андрей решит 4 задачи:  
P(4 из 5) = (C(7, 4) * C(3, 1)) / C(10, 5) = 105 / 252 = 35 / 84 = 5 / 12 ≈ 0.4167  

Ответ:  
а) Вероятность того, что Андрей решит все 5 задач, составляет примерно 0.0833.  
б) Вероятность того, что Андрей решит 4 задачи, составляет примерно 0.4167.