Дано:
- Общее количество ученых: 20.
- Количество ученых, узнавших о новом открытии: 10.
- Учёные размещены в двухместных номерах.
Найти:
а) Вероятность того, что все 20 учёных узнали об открытии.
б) Вероятность того, что ровно 13 учёных узнали об открытии.
в) Вероятность того, что ровно 12 учёных узнали об открытии.
Решение:
Обозначения:
- A: событие, что учёный узнал о новом открытии.
- N: общее количество учёных, узнавших об открытии.
- K: количество учёных, которые не знали об открытии.
Сначала определим некоторые основные параметры:
- N = 10 (учёные, знающие об открытии).
- K = 20 - N = 10 (учёные, не знающие об открытии).
Каждую ночь 10 учёных, знающих об открытии, могут рассказать о нем своему соседу. Так как размещение происходит случайным образом, вероятность распространения информации зависит от случайного распределения ученых по номерам.
1. Вероятность того, что все 20 учёных узнали об открытии.
Для того чтобы все 20 учёных узнали об открытии, все 10 учёных, которые знают об открытии, должны быть размещены в одной комнате с теми, кто не знает.
Сначала определим, сколько существует способов разместить ученых в двухместных номерах:
- Общее количество пар: 10 (20 учёных делятся на 2, то есть 20!/10!(2!)^10).
Теперь, чтобы все 10, знающие об открытии, были в одной комнате, мы можем выбрать одну из 10 пар:
- Количество благоприятных исходов: 10.
Вероятность того, что все 20 учёных узнали об открытии:
P(все 20 узнали) = Количество благоприятных исходов / Общее количество исходов
P(все 20 узнали) = 10 / (20! / (10!(2!)^10))
P(все 20 узнали) = 10 * 10! * (2!)^10 / 20!.
2. Вероятность того, что ровно 13 учёных узнали об открытии.
Чтобы ровно 13 учёных узнали об открытии, необходимо, чтобы 3 ученых не узнали. Таким образом, 3 из 10 ученых, не знающих об открытии, должны быть распределены так, чтобы не оказаться в одной комнате с теми, кто знает.
Для этого:
- 7 ученых, не знающих об открытии, должны быть размещены так, чтобы 3 не знали, а 10 знали.
Количество благоприятных исходов:
- Мы можем выбрать 3 из 10 (не знающих об открытии), которые будут распределены между 7 учеными, которые знают.
P(ровно 13 узнали) = (C(10, 3) * C(10, 7)) / (20! / (10!(2!)^10)).
Где C(n, k) - биномиальный коэффициент.
3. Вероятность того, что ровно 12 учёных узнали об открытии.
Аналогично, чтобы ровно 12 узнали об открытии, необходимо, чтобы 8 оставшихся учёных не узнали.
Похожие вычисления дают:
P(ровно 12 узнали) = (C(10, 8) * C(10, 2)) / (20! / (10!(2!)^10)).
Ответ:
а) Вероятность того, что все 20 учёных узнали об открытии, равна 10 * 10! * (2!)^10 / 20!.
б) Вероятность того, что ровно 13 учёных узнали об открытии, равна (C(10, 3) * C(10, 7)) / (20! / (10!(2!)^10)).
в) Вероятность того, что ровно 12 учёных узнали об открытии, равна (C(10, 8) * C(10, 2)) / (20! / (10!(2!)^10)).