дано: Вероятность дожития до 50 лет p = 0,87. Общее количество новорождённых n = 1000.
найти: вероятность того, что не менее 800 новорождённых доживут до 50 лет.
Решение:
Обозначим X - число людей из 1000, которые доживут до 50 лет. X распределена по биномиальному закону с параметрами n и p:
X ~ Binomial(n, p).
Для больших n можно использовать нормальное приближение:
X ≈ N(np, np(1-p)).
Находим параметры нормального распределения:
np = 1000 * 0,87 = 870,
q = 1 - p = 0,13,
np(1 - p) = 1000 * 0,87 * 0,13 = 1000 * 0,1131 = 113,1.
Таким образом, X приближенно распределена как:
X ≈ N(870, sqrt(113,1)).
Теперь вычислим стандартное отклонение:
sigma = sqrt(113,1) ≈ 10,63.
Необходимо найти вероятность того, что X ≥ 800. Для использования неравенства Чебышёва, мы найдем среднее значение и стандартное отклонение:
1. Среднее значение (мю) равно 870.
2. Стандартное отклонение (сигма) равно примерно 10,63.
По неравенству Чебышёва для любого k > 0:
P(|X - мю| ≥ k * сигма) ≤ 1 / k^2.
Установим:
X < 800 → |X - 870| ≥ 70.
Следовательно, нам нужно рассчитать k:
k = |(800 - 870)| / сигма = 70 / 10,63 ≈ 6,58.
Теперь подставим в неравенство Чебышёва:
P(|X - 870| ≥ 70) ≤ 1 / (6,58)^2 ≈ 1 / 43,24 ≈ 0,0231.
Следовательно,
P(X < 800) = P(|X - 870| ≥ 70) ≤ 0,0231.
Мы можем оценить вероятность того, что не менее 800 доживут до 50 лет:
P(X ≥ 800) = 1 - P(X < 800) ≥ 1 - 0,0231 = 0,9769.
Ответ: вероятность того, что не менее 800 новорождённых доживут до 50 лет составляет приблизительно 0,9769 или 97,69%.