дано: Доля страховых случаев p = 0,2 (один случай на каждый пятый договор). Необходимая точность отклонения E = 0,05. Вероятность P = 0,9.
найти: Необходимое количество договоров n.
Решение:
Мы будем использовать неравенство Чебышёва для оценки необходимого количества договоров. Для того чтобы с вероятностью 0,9 доля страховых случаев не отклонялась от 0,2 более чем на 0,05, нам нужно определить, сколько договоров необходимо заключить.
Сначала мы можем выразить требуемую вероятность через стандартное отклонение. Среднее значение доли равно p = 0,2, а стандартное отклонение для пропорции можно вычислить по формуле:
sigma = sqrt(p * (1 - p) / n).
В нашем случае это будет:
sigma = sqrt(0,2 * 0,8 / n) = sqrt(0,16 / n).
По неравенству Чебышёва:
P(|X/n - p| ≥ E) ≤ sigma^2 / E^2,
где X - число страховых случаев, n - количество договоров.
Зная, что мы хотим, чтобы:
P(|X/n - 0,2| < 0,05) ≥ 0,9,
можем записать:
1 - P(|X/n - 0,2| ≥ 0,05) ≥ 0,9,
то есть:
P(|X/n - 0,2| ≥ 0,05) ≤ 0,1.
Теперь подставим в неравенство Чебышёва:
0,1 ≥ sigma^2 / E^2.
Подставим значения для sigma и E:
0,1 ≥ (0,16 / n) / (0,05^2).
Это упростится до:
0,1 ≥ (0,16 / n) / 0,0025,
0,1 ≥ 64 / n.
Теперь решим неравенство относительно n:
n ≥ 64 / 0,1,
n ≥ 640.
Таким образом, необходимо заключить как минимум 640 договоров.
Ответ: Для достижения необходимой точности с вероятностью 0,9 необходимо заключить не менее 640 договоров.