дано: Количество жителей в поселке N = 2500. Среднее количество поездок на человека в месяц K = 6. Продолжительность наблюдения T = 100 дней.
найти: Наименьшая вместимость поезда M, чтобы он переполнялся в среднем один раз за 100 дней.
Решение:
1. Сначала найдем общее количество поездок всех жителей за 100 дней. Каждый житель делает K поездок в месяц, что равняется K/30 поездкам в день. Следовательно, общее количество поездок в день для всего поселка будет:
Общее количество поездок в день = N * (K/30) = 2500 * (6/30) = 2500 * 0,2 = 500.
2. Теперь найдем общее количество поездок за 100 дней:
Общее количество поездок за 100 дней = Общее количество поездок в день * T = 500 * 100 = 50000.
3. Мы хотим, чтобы поезд переполнялся в среднем один раз за 100 дней. Это означает, что вероятность переполнения поезда должна быть равна 1/100.
4. Определим переменную X как количество людей, которые захотят сесть в поезд в любой конкретный день. X распределена по нормальному закону, так как количество поездок - это сумма большого числа независимых случайных величин.
Среднее значение му:
му = Общее количество поездок в день = 500.
Стандартное отклонение сигма можно найти, зная, что число поездок нормально распределено. Для биномиального распределения оно рассчитывается как:
сигма = sqrt(N * p * (1 - p)), где p - вероятность того, что данный человек захочет поехать в город в определенный день.
p = K/30 = 0,2, следовательно,
сигма = sqrt(2500 * (6/30) * (1 - 6/30)) = sqrt(2500 * 0,2 * 0,8) = sqrt(400) = 20.
5. Чтобы найти значение M, необходимо воспользоваться критерием вероятности, который показывает, что при вместимости M, вероятность переполнения поезда равна 1/100.
Нам нужно найти такое значение M, что:
P(X > M) = 1/100.
Это эквивалентно тому, чтобы найти Z такое, что P(Z < z) = 99/100. По таблице стандартного нормального распределения z ≈ 2,33.
Теперь можем выразить M через среднее и стандартное отклонение:
M = му + z * сигма = 500 + 2,33 * 20 ≈ 500 + 46,6 ≈ 546,6.
Округляя до ближайшего целого числа, получаем:
M ≈ 547.
Ответ: Наименьшая вместимостью поезда должна составлять не менее 547 мест, чтобы он переполнялся в среднем один раз за 100 дней.