Question

Как известно в теннисе важную роль играет успешная подача. Теннисист подавал успешно первую подачу с вероятностью 0,4. Затем он прошёл специальный курс тренировок, чтобы улучшить подачу. Если он сделает 25 подач, сколько из них должны быть успешными, чтобы признать, что его результаты улучшились на уровне значимости 0,1 ?

Answer 1

Дано:  
Вероятность успешной подачи до тренировок (p0) = 0,4  
Количество подач (n) = 25  
Уровень значимости (α) = 0,1  
Альтернативная гипотеза (H1): p > 0,4  

Найти:  
Минимальное количество успешных подач (k), чтобы результаты были признаны улучшенными.

Решение:  
1. Определим Z-критическое значение для α = 0,1. Для одностороннего теста Z = 1,28.  
2. Вычислим необходимое количество успешных подач. Используем формулу для Z-статистики:  
   Z = (p_hat - p0) / sqrt((p0 * (1 - p0)) / n), где p_hat = k / n.  
3. Подставим в формулу:  
   1,28 = (k/25 - 0,4) / sqrt((0,4 * 0,6) / 25)  
4. Найдем стандартное отклонение:  
   sqrt((0,4 * 0,6) / 25) = sqrt(0,024) ≈ 0,155  
5. Подставим значение в формулу:  
   1,28 = (k/25 - 0,4) / 0,155  
   1,28 * 0,155 = k/25 - 0,4  
   0,1984 = k/25 - 0,4  
   k/25 = 0,1984 + 0,4  
   k/25 = 0,5984  
   k ≈ 25 * 0,5984 ≈ 14,96  

Ответ:  
Для того чтобы результаты подач были признаны улучшенными, теннисист должен успешно подавать не менее 15 раз из 25.