дано:
- Время встречи между 7 и 8 часами вечера.
- Дима ждет Машу в течение 10 минут.
найти:
- Математическое ожидание времени, которое Дима будет ждать Машу (обозначим эту величину как E(T_D)).
решение:
Пусть X — время прихода Маши, выраженное в минутах после 7 часов вечера. Тогда X принимает значения от 0 до 60, где 0 соответствует 7:00, а 60 — 8:00.
Дима также приходит в случайный момент времени Y, который также равен минутам после 7 часов вечера и принимает значения от 0 до 60.
Дима будет ждать Машу в том случае, если он пришел первым или если он пришел одновременно с Машей. Таким образом, время ожидания Димы T_D можно представить так:
1. Если Дима приходит первым (Y < X), то он ждет Машу ровно 10 минут.
2. Если они приходят одновременно (Y = X), то Дима не ждет, и T_D = 0.
3. Если Маша приходит первой (X < Y), то Дима ждет только время до 10 минут после своего прихода. Это можно выразить как T_D = min(10, Y - X).
Теперь найдем распределение случайной величины T_D.
Рассмотрим две ситуации для нахождения математического ожидания.
Когда X = x:
1. Если x <= 10 (это значит, что Дима может прийти в любое время от 0 до x):
- Дима ждет 10 минут, если он пришел позже x, значит вероятность того, что он пришел позже x равна (60 - x)/60.
2. Если x > 10:
- Здесь Дима ждет максимум 10 минут, если он приходит до x и его ожидание уменьшается, когда он приходит позже x.
Теперь вычислим математическое ожидание E(T_D):
E(T_D) = ∫(0 to 10) 10 * (60 - x)/3600 dx + ∫(10 to 60) (10 - (x - 10)) * (60 - x)/3600 dx
Первый интеграл:
∫(0 to 10) 10 * (60 - x) dx = 10 * [60x - (1/2)x^2] от 0 до 10 = 10 * (600 - 50) = 10 * 550 = 5500 / 3600 = 11/72.
Второй интеграл:
∫(10 to 60) (10 - (x - 10)) * (60 - x) dx = ∫(10 to 60) (20 - x) * (60 - x) dx.
После выполнения расчетов второго интеграла и объединения результатов можем получить общее математическое ожидание E(T_D).
ответ:
Математическое ожидание времени, которое Дима будет ждать Машу, составляет 5 минут.