дано:
- Среднее число вызовов, поступающих в кол-центр в минуту = 120.
- Случайная величина X — количество вызовов в секунду.
найти:
а) Закон распределения X.
б) Математическое ожидание и дисперсию X.
в) Вероятности P(X=0), P(X<2), P(X>3).
решение:
а) Поскольку количество вызовов описывается потоком событий, которые происходят независимо друг от друга за фиксированный интервал времени, случайная величина X подчиняется распределению Пуассона. Чтобы найти параметр λ (среднее количество событий), необходимо перевести среднее число вызовов из минуты в секунды:
λ = 120 вызовов/60 секунд = 2 вызова в секунду.
Следовательно, закон распределения X будет таким:
P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k! для k = 0, 1, 2, ...
б) Математическое ожидание E(X) и дисперсия D(X) для распределения Пуассона равны параметру λ:
E(X) = λ = 2,
D(X) = λ = 2.
в) Теперь вычислим вероятности.
1. Вероятность P(X=0):
P(X=0) = (λ^0 * e^(-λ)) / 0! = (2^0 * e^(-2)) / 1 = e^(-2) ≈ 0.1353.
2. Вероятность P(X<2):
P(X<2) = P(X=0) + P(X=1).
Рассчитаем P(X=1):
P(X=1) = (λ^1 * e^(-λ)) / 1! = (2^1 * e^(-2)) / 1 = 2 * e^(-2) ≈ 0.2707.
Теперь сложим:
P(X<2) = P(X=0) + P(X=1)
= e^(-2) + 2 * e^(-2)
= 3 * e^(-2) ≈ 0.4060.
3. Вероятность P(X>3):
P(X>3) = 1 - P(X≤3).
Сначала найдем P(X≤3), что равно P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3).
Пусть рассчитаем P(X=2):
P(X=2) = (λ^2 * e^(-λ)) / 2! = (2^2 * e^(-2)) / 2 = 2 * e^(-2) ≈ 0.2707.
И P(X=3):
P(X=3) = (λ^3 * e^(-λ)) / 3! = (2^3 * e^(-2)) / 6 = (8/6) * e^(-2) ≈ 0.1804.
Тогда:
P(X≤3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)
= e^(-2) + 2 * e^(-2) + 2 * e^(-2) + (8/6) * e^(-2)
= (1 + 2 + 2 + 1.3333) * e^(-2)
= 6.3333 * e^(-2) ≈ 0.8589.
Теперь найдём P(X>3):
P(X>3) = 1 - P(X≤3)
= 1 - 0.8589
≈ 0.1411.
ответ:
а) Закон распределения X: P(X=k) = (2^k * e^(-2)) / k!, k = 0, 1, 2, ...
б) Математическое ожидание E(X) = 2; дисперсия D(X) = 2.
в) P(X=0) ≈ 0.1353; P(X<2) ≈ 0.4060; P(X>3) ≈ 0.1411.