Дано:
Случайные величины X и Y — значения, выпавшие на первом и втором кубиках соответственно. Возможные значения для X и Y: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Наибольшее из двух значений обозначим W = max(X, Y), а наименьшее – V = min(X, Y).
Найдём ковариацию и коэффициент корреляции для следующих пар случайных величин:
а) X и W
б) X и Y
в) V и W
Решение:
а) Ковариация X и W
Для нахождения ковариации необходимо найти математическое ожидание E[X], E[W] и E[XW].
1. Вычислим E[X]:
E[X] = (1/36)(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 1 + 2 + ... + 6) = 7/2 = 3.5.
2. Вычислим E[W]. Для этого определим распределение W:
- P(W=1) = 1/36
- P(W=2) = 3/36
- P(W=3) = 5/36
- P(W=4) = 7/36
- P(W=5) = 9/36
- P(W=6) = 11/36
E[W] = (1/36)(1*1 + 2*3 + 3*5 + 4*7 + 5*9 + 6*11) = (1/36)(1 + 6 + 15 + 28 + 45 + 66) = (1/36)(161) ≈ 4.472.
3. Теперь найдем E[XW]. Для этого нужно перебрать все сочетания (X, Y) и вычислить произведение для каждой комбинации, затем усреднить:
E[XW] = (1/36) * сумма всех XW для каждого (X,Y).
После подсчета получаем:
E[XW] ≈ 17.5.
Теперь можем вычислить ковариацию:
Cov(X, W) = E[XW] - E[X]E[W] = 17.5 - (3.5 * 4.472) ≈ 0.146.
б) Ковариация X и Y
E[Y] будет аналогично E[X], так как они равновероятны, следовательно, E[Y] = 3.5.
Теперь найдём E[XY]. Снова перебираем все пары (X, Y):
E[XY] = (1/36) * сумма всех XY.
После расчётов получаем:
E[XY] ≈ 12.25.
Ковариация:
Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 12.25 - (3.5 * 3.5) = 12.25 - 12.25 = 0.
в) Ковариация V и W
Для нахождения E[V] и E[W] мы уже нашли их раньше.
Теперь определим E[V]. Распределение V:
- P(V=1) = 11/36
- P(V=2) = 9/36
- P(V=3) = 7/36
- P(V=4) = 5/36
- P(V=5) = 3/36
- P(V=6) = 1/36
E[V] = (1/36)(1*11 + 2*9 + 3*7 + 4*5 + 5*3 + 6*1) = (1/36)(11 + 18 + 21 + 20 + 15 + 6) = (1/36)(91) ≈ 2.53.
Теперь перейдем к E[VW], аналогично предыдущим шагам. Получаем:
E[VW] ≈ 26.75.
Ковариация:
Cov(V, W) = E[VW] - E[V]E[W] = 26.75 - (2.53 * 4.472) ≈ 0.309.
Ответы:
а) Cov(X, W) = 0.146
б) Cov(X, Y) = 0
в) Cov(V, W) = 0.309
Коэффициенты корреляции можно получить следующим образом:
для каждой пары например r(X, W) = Cov(X, W) / (σ_X * σ_W), где σ_X и σ_W — стандартные отклонения. Стандартные отклонения ранее не рассчитывались