дано:
- Среднее число вызовов, поступающих в кол-центр в минуту = 120.
- Случайная величина Y — время ожидания очередного вызова в секундах.
найти:
а) Закон распределения Y.
б) Математическое ожидание и дисперсию Y.
в) Вероятности P(Y<1), P(Y>1), P(Y=1).
решение:
а) Время ожидания очередного вызова в рамках потока событий (в данном случае вызовов) описывается экспоненциальным распределением. Параметр λ (интенсивность потока) равен среднему количеству событий в секунду. Так как мы знаем, что в минуту поступает 120 вызовов, переведем это значение в секунды:
λ = 120 вызовов/60 секунд = 2 вызова в секунду.
Следовательно, закон распределения Y будет таким:
f(y) = λ * e^(-λy) для y ≥ 0,
где λ = 2.
б) Математическое ожидание E(Y) и дисперсия D(Y) для экспоненциального распределения определяются следующими формулами:
E(Y) = 1/λ = 1/2 = 0.5 секунд,
D(Y) = 1/λ^2 = 1/(2^2) = 1/4 = 0.25 секунды в квадрате.
в) Теперь вычислим вероятности.
1. Вероятность P(Y<1):
P(Y<1) = ∫(от 0 до 1) f(y) dy
= ∫(от 0 до 1) 2 * e^(-2y) dy.
Вычислим интеграл:
P(Y<1) = [-e^(-2y)] (от 0 до 1)
= -e^(-2*1) - (-e^(-2*0))
= e^0 - e^(-2)
= 1 - e^(-2) ≈ 1 - 0.1353 ≈ 0.8647.
2. Вероятность P(Y>1):
P(Y>1) = 1 - P(Y≤1).
Так как P(Y≤1) = P(Y<1), то:
P(Y>1) = 1 - P(Y<1)
= 1 - 0.8647
≈ 0.1353.
3. Вероятность P(Y=1):
Для непрерывного распределения вероятность того, что случайная величина примет конкретное значение, равна 0:
P(Y=1) = 0.
ответ:
а) Закон распределения Y: f(y) = 2 * e^(-2y) для y ≥ 0.
б) Математическое ожидание E(Y) = 0.5 секунд; дисперсия D(Y) = 0.25 секунды в квадрате.
в) P(Y<1) ≈ 0.8647; P(Y>1) ≈ 0.1353; P(Y=1) = 0.