Для построения совместного распределения случайных величин X и Y с заданными коэффициентами корреляции, можно использовать следующие примеры:
а) Коэффициент корреляции равен 0:
Дано:
Случайные величины X и Y имеют независимое нормальное распределение.
Найти:
Коэффициент корреляции между X и Y.
Решение:
Пусть X ~ N(0, 1) и Y ~ N(0, 1). Поскольку X и Y независимы, их ковариация равна 0: Cov(X, Y) = 0. Поэтому коэффициент корреляции тоже равен 0:
r(X, Y) = Cov(X, Y) / (σ_X * σ_Y) = 0 / (σ_X * σ_Y) = 0.
Ответ:
Коэффициент корреляции r(X, Y) равен 0.
б) Коэффициент корреляции равен 1:
Дано:
Случайные величины X и Y связаны линейной зависимостью.
Найти:
Коэффициент корреляции между X и Y.
Решение:
Пусть Y = 2X. Если X имеет нормальное распределение, то Y также будет иметь нормальное распределение. В этом случае ковариация будет положительной, так как Y изменяется вместе с X.
Cov(X, Y) = Cov(X, 2X) = 2 * Var(X).
Поэтому коэффициент корреляции будет:
r(X, Y) = Cov(X, Y) / (σ_X * σ_Y) = (2 * Var(X)) / (σ_X * 2σ_X) = 1.
Ответ:
Коэффициент корреляции r(X, Y) равен 1.
в) Коэффициент корреляции равен -1:
Дано:
Случайные величины X и Y связаны отрицательной линейной зависимостью.
Найти:
Коэффициент корреляции между X и Y.
Решение:
Пусть Y = -2X. Если X имеет нормальное распределение, то Y также будет иметь нормальное распределение. В этом случае ковариация будет отрицательной, так как Y уменьшается, когда X увеличивается.
Cov(X, Y) = Cov(X, -2X) = -2 * Var(X).
Поэтому коэффициент корреляции будет:
r(X, Y) = Cov(X, Y) / (σ_X * σ_Y) = (-2 * Var(X)) / (σ_X * 2σ_X) = -1.
Ответ:
Коэффициент корреляции r(X, Y) равен -1.