Дано:
Случайная величина X имеет равномерное распределение на интервале [0, 1].
Найти:
Функции распределения и плотности случайных величин Y1 = -ln(X) и Y2 = 2X + 1.
Решение с расчетом:
1. Для случайной величины Y1 = -ln(X):
Функция распределения F(y) для Y1 определяется как вероятность того, что Y1 не превышает значение y.
F(y) = P(Y1 <= y) = P(-ln(X) <= y)
Перейдем к перемене X = e^(-Y1), где 0 <= X <= 1.
Тогда функция распределения F(y) будет выражена через функцию распределения X:
F(y) = P(e^(-Y1) <= y) = P(X >= e^(-y)) = 1 - e^(-y), при 0 <= y <= ∞.
Таким образом, функция распределения Y1 будет равна:
F(y) = {0, если y < 0;
{1 - e^(-y), если 0 <= y <= ∞.
Для нахождения плотности вероятности f(y) воспользуемся производной функции распределения:
f(y) = dF(y)/dy = e^(-y), при 0 <= y <= ∞;
f(y) = 0, в остальных случаях.
2. Для случайной величины Y2 = 2X + 1:
Функция распределения F(y) для Y2 будет зависеть от значения y:
Если y < 1, то F(y) = 0, так как Y2 не может принять значения меньше 1.
Если 1 <= y <= 3, то F(y) = (y - 1) / 2, так как Y2 находится в интервале [1,3].
Если y > 3, то F(y) = 1, так как Y2 не может принимать значения больше 3.
Плотность вероятности f(y) можно найти как производную функции распределения:
f(y) = dF(y)/dy = 1/2, при 1 <= y <= 3;
f(y) = 0, в остальных случаях.
Ответ:
Для случайной величины Y1 = -ln(X):
Функция распределения: F(y) = {0, если y < 0; {1 - e^(-y), если 0 <= y <= ∞.
Плотность вероятности: f(y) = e^(-y), при 0 <= y <= ∞; f(y) = 0, в остальных случаях.
Для случайной величины Y2 = 2X + 1:
Функция распределения: F(y) = {0, если y < 1; {(y - 1) / 2, если 1 <= y <= 3; {1, если y > 3.
Плотность вероятности: f(y) = 1/2, при 1 <= y <= 3; f(y) = 0, в остальных случаях.