Дано:
Функция F(y) = P(X < y), где X - случайная величина.
Найти:
Доказать, что случайная величина F(X) имеет равномерное на [0,1] распределение, если функция F непрерывна и строго монотонна.
Решение с расчетом:
Для доказательства того, что случайная величина F(X) имеет равномерное распределение, нужно показать, что ее функция распределения равномерна на интервале [0,1].
Функция распределения F(u) для случайной величины F(X) определяется как вероятность того, что F(X) не превышает значение u:
F(u) = P(F(X) <= u) = P(P(X < X') <= u), где X' - случайная величина, имеющая ту же функцию распределения, что и X.
Так как F(y) = P(X < y), то F(X') = P(X < X'), где X' также имеет распределение X. Из непрерывности и строгой монотонности функции F(y) следует, что функция F(X') также будет непрерывной и строго монотонной.
Теперь рассмотрим вероятность P(X < X'). Поскольку X и X' имеют одинаковое распределение, эта вероятность равна 0.5, что является постоянной для всех X'.
Таким образом, функция распределения F(u) для случайной величины F(X) равномерна на интервале [0,1].
Ответ:
Таким образом, случайная величина F(X) имеет равномерное распределение на интервале [0,1], если функция F непрерывна и строго монотонна.