дано:
- Случайная величина X равномерно распределена в промежутке (0; 1).
- Y = (b - a)X + a, где a и b - заданные константы.
найти:
- Доказать, что Y имеет равномерное распределение на интервале (a; b).
решение:
1. Поскольку X равномерно распределена на (0; 1), её функция плотности распределения f_X(x) равна 1 для 0 < x < 1 и равна 0 в противном случае.
2. Найдем функцию распределения Y. Обозначим функцию распределения Y как F_Y(y), тогда:
F_Y(y) = P(Y ≤ y).
3. Подставим Y в это выражение:
F_Y(y) = P((b - a)X + a ≤ y).
4. Перепишем неравенство:
(b - a)X ≤ y - a,
X ≤ (y - a) / (b - a).
5. Теперь учитываем, что X может принимать значения только в интервале (0; 1), поэтому:
F_Y(y) = P(X ≤ (y - a) / (b - a)).
6. Так как X равномерно распределена на (0; 1), мы можем выразить F_Y(y) через ее функцию распределения:
F_Y(y) = (y - a) / (b - a) для a < y < b.
7. Далее, найдем функцию плотности распределения Y:
f_Y(y) = d/dy F_Y(y).
8. Для этого продифференцируем F_Y(y):
f_Y(y) = d/dy [(y - a) / (b - a)] = 1 / (b - a) для a < y < b.
9. Таким образом, функция плотности распределения Y равна 1/(b - a) для a < y < b и 0 в других случаях.
10. Это соответствует определению равномерного распределения, следовательно, Y равномерно распределена на интервале (a; b).
ответ:
Случайная величина Y = (b - a)X + a имеет равномерное распределение на интервале (a; b).