Question

Будем называть корреляцией случайных событий коэффициент корреляции их индикаторов (напомним, что индикатором события А называется случайная величина, которая равна 1, когда А наступает, и равна 0, когда А не наступает). Вероятность, что студент сдаст в предстоящую сессию первый экзамен, равна 0,5; что сдаст второй экзамен — 0,3. Корреляция между успешной сдачей первого и второго экзаменов равна 0,4. Чему равна вероятность, что он сдаст оба экзамена?

Answer 1

Дано:
P(A) = 0,5 — вероятность успешной сдачи первого экзамена.
P(B) = 0,3 — вероятность успешной сдачи второго экзамена.
ρ(A, B) = 0,4 — коэффициент корреляции между индикаторами событий A и B.

Найти:
Вероятность того, что студент сдаст оба экзамена, обозначим как P(A ∩ B).

Решение:

Сначала используем формулу для вычисления ковариации между индикаторами событий A и B:

cov(A, B) = ρ(A, B) * σ_A * σ_B,

где σ_A и σ_B — стандартные отклонения индикаторов.

Поскольку индикаторы могут принимать значения 0 и 1, то их дисперсия D(A) и D(B) равны:

D(A) = P(A) * (1 - P(A)) = 0,5 * (1 - 0,5) = 0,5 * 0,5 = 0,25,
D(B) = P(B) * (1 - P(B)) = 0,3 * (1 - 0,3) = 0,3 * 0,7 = 0,21.

Стандартные отклонения будут:

σ_A = √(D(A)) = √(0,25) = 0,5,
σ_B = √(D(B)) = √(0,21) ≈ 0,458.

Теперь подставим в формулу для ковариации:

cov(A, B) = 0,4 * 0,5 * 0,458 ≈ 0,0916.

Теперь можем использовать формулу для вычисления вероятности совместного события:

P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B).

Сначала найдем P(A ∪ B):

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - cov(A, B).

Обратите внимание, что P(A ∪ B) можно выразить через P(A) + P(B) с учетом ковариации. Таким образом:

P(A ∪ B) = 0,5 + 0,3 - cov(A, B)
P(A ∪ B) = 0,5 + 0,3 - 0,0916
P(A ∪ B) ≈ 0,7084.

Теперь подставим это значение в формулу для нахождения вероятности совместного события:

P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B)

Подставим известные значения:

P(A ∩ B) = 0,5 + 0,3 - 0,7084
P(A ∩ B) = 0,8 - 0,7084
P(A ∩ B) ≈ 0,0916.

Ответ:
Вероятность, что студент сдаст оба экзамена, равна примерно 0,0916.