Question

Аня, Боря и Вася решили пойти в кино. Они договорились встретиться на остановке. Каждый из них может прийти в случайный момент времени2 с 15:00 до 16:00. Вася самый терпеливый из всех: если он придёт и на остановке не будет ни Ани, ни Бори, то он будет ждать кого-нибудь из них 15 минут, и если никого не дождётся, пойдёт в кино один. Боря менее терпеливый: он будет ждать лишь 10 минут. Аня самая нетерпеливая: она вообще не будет ждать. Однако если Боря и Вася встретятся, то они будут ждать Аню до 16:00. Какова вероятность того, что в кино они пойдут все вместе?

Answer 1

Дано:
- Аня, Боря и Вася могут прийти на остановку в случайный момент времени от 15:00 до 16:00 (t = 0 до 60 минут).
- Вася ждет 15 минут.
- Боря ждет 10 минут.
- Аня не ждет.

Найти:
Вероятность того, что все трое пойдут в кино вместе.

Решение:
1. Определим время прихода каждого из участников как t_A, t_B, t_V, где 0 ≤ t_A, t_B, t_V ≤ 60.
2. Для того чтобы все пошли в кино вместе, необходимо, чтобы:
   - t_A = t_B (Аня пришла в то же время, что и Боря) или
   - t_A ≤ t_B ≤ t_A + 10 (Боря пришел в пределах 10 минут после Ани).
   - t_B ≤ t_V ≤ t_B + 15 (Вася пришел в пределах 15 минут после Бори).
3. Построим область возможных значений на квадрате 60x60 для t_B и t_V.
4. Для фиксированного времени t_A, создадим две области:
   - Для Бориного времени: t_B должен быть от t_A до t_A + 10.
   - Для Васиного времени: t_V должен быть от t_B до t_B + 15.
5. Область, где t_B и t_V находятся в допустимых пределах, будет выглядеть как:
   - t_A ≤ t_B ≤ t_A + 10.
   - t_B ≤ t_V ≤ t_B + 15.

6. Теперь найдем площади:
   - Площадь области возможных значений для t_B при фиксированном t_A равна 10 (от t_A до t_A + 10).
   - Для фиксированного t_B, площадь для t_V равна 15, но должна ограничиваться максимальным значением 60.
   - Это создает прямоугольник шириной 10 и высотой 15.

7. Общая площадь допустимых значений t_B и t_V:
   - Если t_A = 0, t_B может быть от 0 до 10, и для каждого t_B, t_V может быть от t_B до min(t_B + 15, 60).
   - Таким образом, вся область будет треугольной и ограниченной:
     0 ≤ t_A ≤ 60 и 0 ≤ t_B ≤ min(60, t_A + 10).
     Когда t_A + 10 > 60, значит t_B ограничен 60.

8. Вычисляем:
   - Площадь всего квадрата: 60 * 60 = 3600.
   - Площадь области, где все приходят вместе, будет составлять:
   - При фиксированном t_A: 10 * min(15, 60 - t_B).

9. Вероятность того, что все пойдут в кино вместе:
   - Вероятность P = Площадь области, где все встречаются / Площадь всего пространства.
   - Рассмотрим, что для каждого фиксированного t_A существует максимальная вероятность.

10. Применим интеграцию по области:
   - Итоговая вероятность:
   - P = (1/6) * (10/60) * (15/60) = 0.025.

Ответ:
Вероятность того, что все пойдут в кино вместе, равна 0.025.